[論文レビュー] On the Selmer group attached to a modular form and an algebraic Hecke character

Yara Elias|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、虚二次体 $K$ 上の偶数重さ $r+2$ のモジュラー形式と、無限遠型 $(r,0)$ の分岐しない代数的ヘッケキャラクター $\psi$ に付随するセレマー群を有界化する一般化ヘーゲナー周期のオイラー系を構成する。ベルリンソン＝ブローカー＝カトーコンジェクチャーを支持するため、Kolyvagin の方法を高重量モジュラー形式および一般化ヘーゲナー周期に適応し、$p$-進アーベル・ジャコビ写像の像の $\mathbb{Q}_p$-次元が非消滅仮定のもとで 1 に等しいことを証明する。

ABSTRACT

We construct an Euler system of generalized Heegner cycles to bound the Selmer group associated to a modular form and an algebraic Hecke character. The main argument is based on Kolyvagin's machinery explained by Gross while the key object of the Euler system, the generalized Heegner cycles, were first considered by Bertolini, Darmon and Prasanna.

研究の動機と目的

• 偶数重さ $r+2$ のモジュラー形式と、虚二次体 $K$ 上の無限遠型 $(r,0)$ の分岐しない代数的ヘッケキャラクター $\psi$ に付随するセレマー群を有界化すること。
• Bertolini, Darmon, Prasanna が導入した一般化ヘーゲナー周期を用いて、Kolyvagin のオイラー系の方法を高重量モジュラー形式およびヘッケキャラクターに拡張すること。
• ベルリンソン＝ブローカー＝カトーコンジェクチャーの予想である、$L$-関数が $s = r+1$ で零化する次数と、$p$-進アーベル・ジャコビ写像の像の $\mathbb{Q}_p$-次元が一致することを検証すること。
• $p$-進ガロア表現の文脈において、Kolyvagin のコホモロジー類の非自明性および局所的性質を確立すること。

提案手法

• Bertolini, Darmon, Prasanna が導入した一般化ヘーゲナー周期を用いて、モジュラー形式およびヘッケキャラクターに付随するクーガ＝サト多様体上の代数的周期からオイラー系を構成する。
• Bertolini と Darmon および Nekovář が適応した Kolyvagin の降下法を、$p$-進アーベル・ジャコビ写像 $\Phi_{f,\psi,K}$ に適用する。これは、コホモロジーへの codimension-$r$ サイクルの Chow 群から。
• $p$-進アーベル・ジャコビ写像 $\Phi_{f,K}: \mathrm{CH}^r(X/K)_0 \to H^1(K, T_p(f))$ を定義し、$p$-進ガロア表現 $V_f \otimes V_\psi$ のテンソル積への拡張を、$p$ 上の素点 $\wp$ で局所化する。
• 素点 $\lambda$ における Kolyvagin コホモロジー類 $P(\varphi_n)^\psi$ の局所的性質を、局所再帰律およびフロベニウス条件を用いて、コホモロジー群 $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ の像を分析する。
• 再帰律を適用し、局所ペアリングの和 $\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$ が成り立つことを示し、特定のコホモロジー類が自明であることを示す。
• $P(\varphi_1)^\psi$ の非消滅性を用いて、$X_\ell^\psi$ が $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ で生成されること、および $S^{\overline{\psi}}$ が $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上でランク 1 であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ヘーゲナー周期の非消滅仮定のもとで、モジュラー形式およびヘッケキャラクター $\psi$ に付随する twisted Chow 群 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ における $p$-進アーベル・ジャコビ写像の像の $\mathbb{Q}_p$-次元は 1 に等しいか。
• RQ2 Kolyvagin のオイラー系の方法は、高重量 $r+2$ のモジュラー形式および無限遠型 $(r,0)$ の代数的ヘッケキャラクター $\psi$ に対して、セレマー群を有界化するために拡張可能か。
• RQ3 Kolyvagin コホモロジー類 $P(\varphi_n)^\psi$ は、$\ell$ および $q$ における素点上で必要な局所的自明性および再帰律条件を満たすか。
• RQ4 $S^{\overline{\psi}}$ は $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上でランク 1 か。これは、Kolyvagin システムが 1 次元のコホモロジー類を生成することを示唆する。

主な発見

• 一般化ヘーゲナー周期の非消滅仮定のもとで、$p$-進アーベル・ジャコビ写像 $\Phi_{f,\psi,K}$ の $e_{f,\psi}$--twist Chow 群 $\mathrm{CH}^r(W/K)_0$ への像の $\mathbb{Q}_p$-次元は 1 に等しい。すなわち、$\dim_{\mathbb{Q}_p}(\Phi_{f,\psi,K}(e_{f,\psi} \mathrm{CH}^r(W/K)_0) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p) = 1$。
• Kolyvagin コホモロジー類 $P(\varphi_n)^\psi$ は局所再帰律を満たす：$\sum_{\lambda|\ell|n} \langle s_\lambda^\psi, \mathrm{res}_\lambda P(\varphi_n)^\psi \rangle_\lambda = 0$ であり、オイラー系構成における一貫性を保証する。
• $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ の $\omega_\ell$ による像は $X_\ell^\psi$ 内で消える。これは、$X_\ell^\psi$ が $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell q})^\psi)$ で生成されることを意味する。
• $X_\ell^\psi$ は $X_q^\psi$ に含まれており、$\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上でランク 1 のモジュールである。これは、ある $\ell_0 \in L(U_0)$ に対して $\omega_q(\mathrm{res}_\beta P(\varphi_{\ell_0 q})^\psi)$ で生成される。
• $S^{\overline{\psi}}$ は $\mathcal{O}_{F,\wp}/p$ 上でランク 1 である。これは $P(\varphi_1)^{\overline{\psi}}$ の非消滅性および $\{X_\ell^\psi\}_{\ell \in L(U_0)}$ が $S^{\mathrm{dual},\psi}$ を生成することにより示され、オイラー系の非自明性が確認される。
• $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_\ell)^\psi$ および $\mathrm{res}_\lambda P(\varphi_{\ell q})^\psi$ は $H^1(K_\lambda^{ur}, V_\wp/p)^\psi$ 内で線形独立である。これは、各素点における系の豊かさを保証する。