[論文レビュー] On the Sensitivity Conjecture for Disjunctive Normal Forms

Chengyu Lin, Shengyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 54被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、小さい交互数をもつブール関数に対するブロック感度と通信複雑度の新しい上界を確立し、単調関数を超えて感度予想とログランク予想を拡張する。ブロック感度が交互数の二乗と感度の積に対して多項式的に有界であることを証明し、XORおよびAND合成関数の通信複雑度がそれぞれ交互数およびログランクの多項式関数によって有界であることを示す。

ABSTRACT

The Sensitivity Conjecture and the Log-rank Conjecture are among the most important and challenging problems in concrete complexity. Incidentally, the Sensitivity Conjecture is known to hold for monotone functions, and so is the Log-rank Conjecture for $f(x \wedge y)$ and $f(x\oplus y)$ with monotone functions $f$, where $\wedge$ and $\oplus$ are bit-wise AND and XOR, respectively. In this paper, we extend these results to functions $f$ which alternate values for a relatively small number of times on any monotone path from $0^n$ to $1^n$. These deepen our understandings of the two conjectures, and contribute to the recent line of research on functions with small alternating numbers.

研究の動機と目的

• 感度予想とログランク予想を単調関数から交互数が小さい関数へ拡張すること。
• 単調性からの小さな変更が、ブロック感度、通信複雑度、次数といった複雑度測度に与える影響を分析すること。
• 交互数およびログランクを用いて、ブロック感度および通信複雑度に多項式的上界を確立すること。
• 単調関数に関する先行結果を、構造的に単調に近いより広いクラスの関数へ一般化すること。

提案手法

• 交互数を、0^n から 1^n への単調パスに沿った値の変化回数の最大値として定義する。
• ANDおよびXOR合成関数の通信行列の1被覆数に対して、帰納法と再帰的バウンディング技法を用いる。
• 1入力に対する最大項、0入力に対する最小項、および通信複雑度自体に基づくバウンディングを用いて、再帰的不等式を導出する。
• 通信行列のランクとスパarsityの既知の関係を活用する：AND関数にはM"obiusスパarsityを、XOR関数にはフーリエスパarsityを用いる。
• 固定されたサポートを持つ立方体に制限された部分関数は交互数が減少することを利用し、帰納的バウンディングを可能にする。
• 最大項、最小項、および直接的なCCバウンディングの3種類のバウンディングから得られる不等式を組み合わせることで、タイトな全体の通信複雑度バウンディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感度に対して交互数が多項式的に有界な関数について、感度予想は成立するか？
• RQ2 外側関数の交互数が小さい場合、XORおよびAND合成関数におけるログランク予想は拡張可能か？
• RQ3 f◦⊕およびf◦∧の通信複雑度は、fの交互数および通信行列のログランクにどのように依存するか？

主な発見

• ブロック感度 bs(f) は O(alt(f)^2 · s(f)) で有界であり、alt(f) = poly(s(f)) の場合に感度予想が確認される。
• XOR関数の通信複雑度は CC(f◦⊕) ≤ 2 · alt(f) · log₂(rank(Mf◦⊕)) を満たし、f が alt(f) = poly(log(∥f̂∥₀)) の場合にログランク予想が証明される。
• AND関数について、CC(f◦∧) ≤ O(log^{alt(f)+1}(rank(Mf◦∧))) が成り立ち、交互数が有界なfについてログランク予想が確立される。
• より洗練されたバウンディングにより、log n 要素の許容を伴えば、alt(f) への依存が O(log^{alt(f)/2 + 1}(rank(Mf◦∧)) · log n) に改善される。
• 結果は、単調関数に関する先行結果を、交互数が小さい関数へ一般化する。
• 解析により、小さな交互数は、単調性を越えて通信複雑度および感度に強く構造的制御を与えることが示される。