[論文レビュー] On the Separability of Stochastic Geometric Objects, with Applications

Jie Xue, Yuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一一点／複数点の不確実性モデル下での確率的分離可能性（SP）および期待分離マージン（ESM）を計算する最適なアルゴリズムを提示する。d ≥ 3 において SP は O(nN^{d-1}) 時間、ESM は O(nN^d) 時間で達成され、最適性を示す一致する下界が得られ、この枠組みは多面体および球にも拡張可能であり、確率的凸包問題に対する新たな解決策を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we study the linear separability problem for stochastic geometric objects under the well-known unipoint/multipoint uncertainty models. Let $S=S_R \cup S_B$ be a given set of stochastic bichromatic points, and define $n = \min\{|S_R|, |S_B|\}$ and $N = \max\{|S_R|, |S_B|\}$. We show that the separable-probability (SP) of $S$ can be computed in $O(nN^{d-1})$ time for $d \geq 3$ and $O(\min\{nN \log N, N^2\})$ time for $d=2$, while the expected separation-margin (ESM) of $S$ can be computed in $O(nN^{d})$ time for $d \geq 2$. In addition, we give an $Ω(nN^{d-1})$ witness-based lower bound for computing SP, which implies the optimality of our algorithm among all those in this category. Also, a hardness result for computing ESM is given to show the difficulty of further improving our algorithm. As an extension, we generalize the same problems from points to general geometric objects, i.e., polytopes and/or balls, and extend our algorithms to solve the generalized SP and ESM problems in $O(nN^{d})$ and $O(nN^{d+1})$ time, respectively. Finally, we present some applications of our algorithms to stochastic convex-hull related problems.

研究の動機と目的

• 実世界のデータにおける不確実性を伴う測定誤差を考慮した線形分離可能性のための効率的アルゴリズムの欠如に対処すること。
• 確率的二色点または幾何的対象が線形的に分離可能である確率（SP）およびそれらの間の期待マージン（ESM）を計算すること。
• これらのアルゴリズムを多面体や球などの一般幾何的対象に拡張すること。
• 得られた結果を用いて、所属確率や交差確率を含む確率的凸包関連問題を解くこと。

提案手法

• 極値的配置の点を用いて候補となる分離超平面を列挙するウィtnessに基づくアルゴリズムを提案する。
• 幾何的双対性と凸包の性質を用いて、d ≥ 3 における SP の候補分離超平面の数を O(nN^{d-1}) に削減する。
• ランダムサンプリングと幾何的分解を適用し、O(nN^d) 時間で期待分離マージン（ESM）を計算する。
• 不確実性をモデル化し、分離チェックにミンコフスキー和を用いることで、多面体および球を扱う SP および ESM アルゴリズムを一般化する。
• SP アルゴリズムを活用し、クエリ点を既存の点から超平面分離することで、確率的凸包所属確率（SCHMP）を O(m^{d-1}) 時間で直接かつ効率的に計算する。
• 分離可能性クエリに還元することで、交差確率や ε-距離確率を含む一般化された SCH 問題を解くための枠組みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一一点／複数点の不確実性モデル下で、d 次元空間における確率的分離可能性（SP）を計算する計算量の複雑さは何か？
• RQ2 期待分離マージン（ESM）は効率的に計算可能か？ その実行時間の理論的下界は何か？
• RQ3 SP および ESM 問題は、球や多面体などの非点幾何的対象にどのように一般化可能か？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、確率的凸包の所属および関連問題に応用可能か？
• RQ5 凸包におけるウィtness面と、高次元における極値分離超平面の列挙との関係は何か？

主な発見

• d ≥ 3 において、二色の確率的点の集合の SP は O(nN^{d-1}) 時間で計算可能であり、これはウィtnessに基づくすべてのアルゴリズムの中で最適な境界である。
• SP 計算に対して Ω(nN^{d-1}) の下界が示され、ウィtnessに基づくモデルにおける提案アルゴリズムの最適性が裏付けられる。
• ESM は O(nN^d) 時間で計算可能であり、異なる分離マージンの数が Θ(nN^d) であることが示され、さらなる改善が不実現的である可能性を示唆する。
• SP および ESM 問題は多面体および球に一般化され、それぞれ O(nN^d) および O(nN^{d+1}) 時間で実行されるアルゴリズムが得られた。
• SP アルゴリズムにより、d ≥ 3 において O(m^{d-1}) 時間で確率的凸包所属確率（SCHMP）を直接かつ効率的に計算する方法が可能となり、従来のウィtnessエッジ法の一般化が達成された。
• この枠組みは、クエリオブジェクトと SCH の交差確率や、クエリ点から SCH までの期待距離を計算する新しい応用をサポートしており、両者とも O(m^d) 時間で解ける。