[論文レビュー] On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

Artur Kawalec|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

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ひとこと要約

論文はセカンダリゼータ関数のs=1付近のローラン展開係数の新しい極限公式を導出し、展開の正規部分との関係を証明し、ブレントの定理を用いた改良された収束性で数値的に係数を検証する。

ABSTRACT

The secondary zeta function is defined as a generalized zeta series over the imaginary parts of non-trivial zeros assuming (RH). This function admits Laurent series expansion at the double pole at $s=1$. In this article, we derive a new formula for the expansion coefficients of the regular part, which is similar to the Stieltjes constants formula for the Riemann zeta function. We also numerically verify and compute the new formula to high precision for several test cases. Lastly, we also apply the Brent's (BPT) Theorem for improving convergence of the main formula.

研究の動機と目的

• RHの下で非自明ゼータ零の虚部から定義されたセカンダリゼータ関数を動機づけ・研究する。
• s=1でのローラン展開の正規部分係数C_nの一般的な極限表現を導出する。
• 新しい係数を既知のローラン展開およびこれまでの結果と関連付ける。
• 高度な計算手法を用いて高精度で係数を数値検証する。

提案手法

• セカンダリゼータ関数Z(s)を零点の和として定義し、s=1付近のローラン展開を回収する。
• 係数C_nを零点の和と漸近的な対数項与える新しい極限公式（式(3)）として導出する。
• 積分 by parts および Stieltjes積分を用いて係数をZ(s)の正規部分と関連付ける。
• N(T)とQ(T)を含む分解を用い、対数補正のある切り捨て和の極限としてC_nを表す（式(11)–(15)）。
• Bondarenko–Ivić–Saksman–Seip (BIS-S) 展開を適用して積分項の収束性のある級数を得、係数関係を導出する（式(21)–(26)）。
• ADRアルゴリズムがZ(s)を高精度で計算可能であることを示し、C_nを検証するための議論とADRへの言及を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z(s)のs=1付近の正規部分の係数C_nの明示的極限公式は何か。
• RQ2 これらの係数はZ(s)の既存の展開および補助関数N(T)とQ(T)とどのように関連するか。
• RQ3 Brentの定理を適用してC_nの計算における収束と誤差界を改善できるか。
• RQ4 小さなnについての数値検証は、理論結果を高精度計算の下でいかに裏付けるか。

主な発見

• C_nの一般的な極限公式が確立されている：C_n = lim_{T->∞} (-1)^n { sum_{γ<T} log^n(γ)/γ - [log^{n+1}(T) log(T^{n+1}/(2π)^{n+2})]/[2π(n+1)(n+2)] } for n≥0。
• 係数はZ(s)のs=1付近のローラン展開の正規部分に結びつき、二重極の主部を補足する形で整理される。
• N(T)とQ(T)を用いた表現により、C_nを定数＋積分項として表現でき、展開を検証する（式(15)–(26)）。
• Brentの定理を適用してC_nの誤差項を改善し、収束界をより厳しくする（E_2(T) = O(log^{m+1}(T)/T^2)）。
• 数値検証により、C_0, C_1, C_2を高精度で直接和と改善された誤差項の両方で計算し、理論と良い一致を示す。