[論文レビュー] On the Severi varieties of surfaces in P^3

Luca Chiantini, Ciro Ciliberto|ArXiv.org|Feb 2, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 36

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^3$ 内のノード付き曲面のセベリ多様体を調査し、一般の次数 $d \geq 4$ および十分に高い次数 $n$ の曲面に対して、セベリ多様体 $V_{\mathcal{L},\delta}$ に既約かつ正則な成分が存在することを証明する。変形理論と帰納的退化技法を用いて、このような曲面に対して、$N(d,n)$ 個のノードを持つノード付き曲線が孤立的かつ正則的であることが示され、結果として多様体が可約であるセベリ多様体の構成がなされる。

ABSTRACT

The Severi variety V_{n,d} of a smooth projective surface S is defined as the subvariety of the linear system |O_S(n)|, which parametrizes curves with d nodes. We show that, for a general surface S of degree k in P^3 and for all n>k-1, d=0,...,dim(|O_S(n)|), there exists one component of V_{n,d} which is reduced, of the expected dimension dim(|O_S(n)|)-d. Components of the expected dimension are the easiest to handle, trying to settle an enumerative geometry for singular curves on surfaces. On the other hand, we also construct examples of reducible Severi varieties, on general surfaces of degree k>7 in P^3.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^3$ 内の滑らかな曲面上のノード付き曲線をパラメトライズするセベリ多様体 $V_{\mathcal{L},\delta}$ の存在、次元、および既約性を調査すること。
• これらの多様体が正則である、すなわち期待される次元 $\dim|\mathcal{L}| - \delta$ をもつ滑らかな多様体である条件を特定すること。
• 一般の次数 $d \geq 4$ の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面上で、可約なセベリ多様体の例を構成すること。
• 有理曲面および $K3$ 曲面に対するノード付き曲線に関する結果を、一般の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面へと拡張すること。
• 退化および変形法を用いて、一般の曲面上に孤立したノード付き曲線が存在することを確立すること。

提案手法

• ノードを $\delta$ 個もつ曲線 $C$ における接空間 $T_{V^{0}_{\mathcal{L},\delta},C} \simeq H^0(S, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L}) / H^0(C, \mathcal{O}_C)$ および障害空間 $H^1(S, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L})$ を解析するために、無限小変形理論を用いる。
• 正則性の基準を適用する：$V^{0}_{\mathcal{L},\delta}$ が $C$ で正則であるための必要十分条件は、$Z$ が $|\mathcal{L}|$ に対して独立な条件を課し、かつ $\dim T_{V^{0}_{\mathcal{L},\delta},C} = \dim|\mathcal{L}| - \delta$ であること。
• 帰納的退化を用いる：一般の次数 $d$ の曲面 $S$ を、次数 $d-1$ の曲面 $F$ と平面 $\pi$ の和 $S_0 = F \cup \pi$ に特異化する。
• 退化曲面 $S_0$ 上に、$N(d-1,n) + \frac{(n-d+2)(n-d+3)}{2}$ 個のノードを持つノード付き曲線 $C_0 = C_0^1 \cup C_0^2$ を構成し、$S_0$ 上で孤立している。
• ペンキル $S_0$ を一般の曲面 $S_t$ に変形し、ノード付き曲線 $C_0$ を $S_t$ 上のノード付き曲線 $C_t$ に持ち上げる。このときノード数は同じままである。
• モノドロミーの議論と、$\pi \cap Q$ のノードを通る次数 $n-d+1$ の曲線が存在しないことを利用して、$C_t$ が $S_t$ 上で孤立していることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の次数 $d \geq 4$ の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面 $S$ に対して、セベリ多様体 $V_{n,\delta}(S)$ は $\delta = N(d,n)$ のとき、正則的かつ既約な成分をもつか？
• RQ2 一般の次数 $d \geq 4$ の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面上に、次数 $n$ の孤立したノード付き曲線を構成できるか？
• RQ3 一般の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面上で、セベリ多様体 $V_{\mathcal{L},\delta}$ が可約となる条件は何か？
• RQ4 $K3$ 曲面上に有理ノード付き曲線が存在することは、一般の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面上のセベリ多様体に正則な成分が存在することを示唆するか？
• RQ5 $\mathbb{P}^3$ 内の一般の曲面上の次数 $n$ のノード付き曲線のノード数 $N(d,n)$ は、退化および変形によって実現可能か？

主な発見

• 一般の次数 $d \geq 4$ の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面 $S$ に対して、すべての $n \geq d$ および $\delta = N(d,n)$ に対して、セベリ多様体 $V_{n,\delta}(S)$ は正則的かつ既約な成分を含む。ここで $N(d,n) = N(d-1,n) + \frac{(n-d+2)(n-d+3)}{2}$ である。
• 一般の次数 $d$ の曲面 $S_t$ 上の次数 $n$ のノード付き曲線 $C_t$ は孤立的である。これは、ノード数を保ったまま変形できないことを意味する。
• 一般の次数 $d \geq 4$ の $\mathbb{P}^3$ 内の曲面 $S$ に対して、セベリ多様体 $V_{n,\delta}(S)$ は可約である。これは、複数の既約成分が存在することによって示される。
• $S_0 = F \cup \pi$ 上の曲線 $C_0 = C_0^1 \cup C_0^2$ は、$\pi$ 上に次数 $n-d+1$ の曲線が $\pi \cap G$ のノードを通らないことから、孤立している。
• $S_0$ を $S_t$ に変形することで、$S_0$ 上のノード付き曲線 $C_0$ は $S_t$ 上のノード付き曲線 $C_t$ に持ち上がり、ノード数と孤立性の性質が保たれる。
• この構成は、既約曲線の一般の超平面切断のモノドロミー群が完全な対称群であるという事実に依存しており、これは横断的で独立した条件を保証する。