[論文レビュー] On the shadow boundary of a centrally symmetric convex body

Ákos G. Horváth|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、n次元ユークリッド空間における中心対称な凸体の影境界の位相的構造を調査し、二点間の距離がミンコフスキーノルムで測られる二等分線（等距離点の集合）が位相的超平面であるならば、影境界は (n−2)-次元球面に位相的に同相であることを確立している。主な貢献は、多様体の場合に、このような埋め込みが標準的であることを示したことである。すなわち、二等分線が位相的超平面であることは、影境界が位相的 (n−2)-次元球面であることと同値である。

ABSTRACT

We discuss the concept of the shadow boundary of a centrally symmetric convex ball $K$ (actually being the unit ball of a Minkowski normed space) with respect to a direction ${\bf x}$ of the Euclidean n-space $R^n$. We introduce the concept of general parameter spheres of $K$ corresponding to this direction and prove that the shadow boundary is a topological manifold if all of the non-degenerated general parameter spheres are, too. In this case, using the approximation theorem of cell-like maps we get that they are homeomorphic to the $(n-2)$-dimensional sphere $S^{(n-2)}$. We also prove that the bisector (equidistant set of the corresponding normed space) in the direction ${\bf x}$ is homeomorphic to $R^{(n-1)}$ iff all of the non-degenerated general parameter spheres are $(n-2)$-manifolds implying that if the bisector is a homeomorphic copy of $R^{(n-1)}$ then the corresponding shadow boundary is a topological $(n-2)$-sphere.

研究の動機と目的

• 中心対称な凸体の影境界とミンコフスキー空間における二等分線の構造との間の位相的関係を明確にすること。
• すべての二等分線が位相的超平面であるという条件が、単位球の厳密凸性を示唆するかを特定すること。
• 影境界が位相的 (n−2)-次元球面であることと、二等分線が位相的超平面であることの同値性を調査すること。
• 特に、非標準的（ワイルド）な埋め込みを許すかどうかを含め、多様体の場合の二等分線および影境界の埋め込み性質を分析すること。

提案手法

• 方向xにおける影境界S(K,x)を、Kの境界上の点で、x方向の直線がKの内部に入らずに接する点の集合として定義する。
• xに直交する超平面への正射影pxを用い、Kの射影の境界と影境界を関連付ける。
• bdKの正負の部分K+およびK−を、開かつ弧状に連結で、R^{n-1}に位相的に同型であると特徴付ける。
• ゲージ関数の等高線として一般化されたパラメータ球γλ(K,x)を導入し、細胞的写像による近似を用いてその位相的性質を研究する。
• M.Brownの定理（R^{n-1}の同相写像の増大列の和集合に関するもの）を適用し、すべての非退化パラメータ球がS^{n-2}に同相であるならば、二等分線HxがR^{n-1}に同相であることを証明する。
• コンパクト化と同相写像の拡張を用い、多様体の場合に、二等分線、影境界、および一般パラメータ球の埋め込みがすべて標準的（すなわち、周囲空間の同相写像による標準的埋め込みと同値）であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心対称な凸体の影境界が、かつてその二等分線が位相的超平面であることと同値であるか？
• RQ2 影境界が位相的 (n−2)-次元球面でない限り、二等分線が位相的超平面であることはあり得ないか？
• RQ3 多様体の場合に、二等分線、影境界、一般パラメータ球の埋め込みは常に標準的（すなわち、周囲空間の同相写像による標準的埋め込みと同値）であるか？
• RQ4 影境界の位相的構造が二等分線が位相的超平面であること、およびその逆を示唆するか？
• RQ5 一般パラメータ球が多様体をなす条件は、二等分線がR^{n-1}に同相であることを示唆するか？

主な発見

• 影境界S(K,x)はコンパクトで、連結で、(n−2)次元の集合であり、Kの境界を三つの互いに素な部分に分割する：S(K,x)、K+、およびK−。
• K+およびK−はR^{n-1}に位相的に同型であり、その和集合は開かつ弧状に連結である。
• 二等分線HxがR^{n-1}に同相であるならば、λ > λ₀である非退化一般パラメータ球γλ(K,x)はS^{n-2}に同相であり、影境界S(K,x)は位相的 (n−2)-次元球面である。
• 多様体の場合、二等分線Hx、影境界S(K,x)、一般パラメータ球γλ(K,x)の埋め込みはすべて標準的であり、周囲空間の同相写像による標準的埋め込みと同値である。
• 二等分線Hxが位相的超平面であることと、影境界S(K,x)が位相的 (n−2)-次元球面であることの同値性は、すべての関連集合が多様体であるという仮定の下で成り立つ。
• 証明はM.Brownの定理と、コンパクト化された集合からの同相写像の拡張に依拠しており、補集合成分の細胞的構造が標準的埋め込みを保証している。