[論文レビュー] On the Shannon entropy power on Riemannian manifolds and Ricci flow

Shuntang Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、曲率次元条件の下で、完全なリーマン多様体上の熱方程式に沿ってシャノンエントロピー量の凹性を確立し、リッチフローにおける共役熱方程式に沿って凸性を示す。エントロピー量の凹性の剛性モデルとしてアインシュタインまたは準アインシュタイン多様体にヘッセソリトンを持つもの、凸性の剛性モデルとして収縮リッチソリトンを特定し、非負のバクリー＝エメリーのリッチ曲率と最大体積成長の下で、新たなエントロピー等周不等式を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the concavity of the Shannon entropy power for the heat equation associated with the Laplacian or the Witten Laplacian on complete Riemannian manifolds with suitable curvature-dimension condition and on compact super Ricci flows. Under suitable curvature-dimension condition, we prove that the rigidity models of the Shannon entropy power are Einstein or quasi Einstein manifolds with Hessian solitons. Moreover, we prove the convexity of the Shannon entropy power for the conjugate heat equation introduced by G. Perelman on Ricci flow and that the corresponding rigidity models are the shrinking Ricci solitons. As an application, we prove the entropy isoperimetric inequality on complete Riemannian manifolds with non-negative (Bakry-Emery) Ricci curvature and the maximal volume growth condition.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間におけるエントロピー量の凹性不等式（EPCI）を、曲率次元条件を満たすリーマン多様体へと拡張すること。
• エントロピー量の凹性の剛性モデルを、ヘッセソリトンを持つアインシュタインまたは準アインシュタイン多様体として同定すること。
• リッチフローにおける共役熱方程式に沿ってエントロピー量の凸性を確立し、収縮リッチソリトンを剛性モデルとして特定すること。
• 非負のバクリー＝エメリーのリッチ曲率と最大体積成長を満たす完全なリーマン多様体上での新たなエントロピー等周不等式を導出すること。
• 重み付き多様体およびリッチフローにおけるエントロピー量不等式を通じて、情報理論的および幾何解析的手法を統合すること。

提案手法

• 測度 $ d\tau = e^{-\theta} dv $ を持つ重み付きリーマン多様体上での Witten ラプラシアン $ L = \triangle - \nabla\theta \nabla $ を用い、標準ラプラシアンを一般化する。
• 一般化されたボッハラー公式および $ \nabla^2 $-計算を用いて、エントロピー散逸およびエントロピー量の時間発展不等式を導出する。
• $ K \neq 0 $ の場合の曲率次元条件 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ を適用し、ユークリッドからリーマン的状況への結果の拡張を行う。
• 熱方程式 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = Lu $ 及びその共役 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = -Lu $ を分析し、エントロピー量のダイナミクスを研究する。
• エントロピー量 $ N(u) = e^{\frac{2}{n} H(u)} $ を用い、ここで $ H(u) = -\nabla u \nabla \text{log} u \text{d}\tau $ であり、2階微分不等式を導出する。
• 両側の熱核推定および最大体積成長 $ \tau(B(x,r)) \rangle C_m r^m $ を用いて、非コンパクト多様体への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上で、Witten ラプラシアンに沿う熱フローに沿ってシャノンエントロピー量が凹性を示す幾何的条件は何か？
• RQ2 曲率次元条件 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ が成り立つとき、エントロピー量の凹性の剛性モデルは何か？
• RQ3 リッチフローにおける共役熱方程式に沿ってエントロピー量はどのように振る舞い、それに対応する剛性構造は何か？
• RQ4 非負のバクリー＝エメリーのリッチ曲率と最大体積成長を満たす完全なリーマン多様体上では、エントロピー等周不等式を導出可能か？
• RQ5 古典的エントロピー量不等式およびその凹性は、どの程度重み付きリーマン多様体およびリッチフローへと一般化可能か？

主な発見

• 完全なリーマン多様体上で $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ かつ $ K \rangle 0 $ を満たすとき、熱方程式 $ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = Lu $ に沿ってシャノンエントロピー量 $ N(u(t)) $ は時間に関して凹性を示す。
• $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ かつ $ K \rangle 0 $ の下で、エントロピー量の凹性の剛性モデルは、ヘッセソリトンを持つアインシュタインまたは準アインシュタイン多様体である。
• リッチフローにおける共役熱方程式に沿って、エントロピー量は凸であり、剛性モデルは収縮リッチソリトンである。
• $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle 0 $ かつ最大体積成長を満たす完全なリーマン多様体上では、エントロピー等周不等式 $ I(f)N(f) \rangle 2\tilde{\tau} m \tilde{\tau}^{2/m} $ が $ \tilde{\tau} = \tilde{\tau}_\text{inf} $ で成り立つ。
• エントロピー等周プロファイル $ Q(u) = N(u)I(u) $ は、 $ \text{Ric}_{m,n}(L) \rangle K g $ の下で $ \frac{d}{dt} Q(u(t)) \rangle -2K Q(u(t)) $ を満たし、$ K > 0 $ の場合に指数的減衰を示す。
• 結果は、同じエントロピー散逸およびエントロピー量の時間発展不等式が成り立つコンパクトな $ (K,m) $-スーパーリッチフローへと拡張可能である。