[論文レビュー] On the Shift Operator, Graph Frequency and Optimal Filtering in Graph Signal Processing

Adnan Gavili, Xiao–Ping Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Advanced Graph Neural Networks参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、古典的信号処理に類似した厳密なグラフ信号処理フレームワークを可能にする、新規のエネルギー保存型グラフシフト演算子を提案する。グラフ構造と固有値を分離し、線形時不変フィルタを定義することで、正確なグラフフーリエ変換、相関関数、最適ウィーナー・フィルタリングを確立し、従来の隣接行列／ラプラシアン行列に基づく演算子が信号エネルギーを歪めるという限界を克服する。

ABSTRACT

Defining a sound shift operator for signals existing on a certain graph structure, similar to the well-defined shift operator in classical signal processing, is a crucial problem in graph signal processing, since almost all operations, such as filtering, transformation, prediction, are directly related to the graph shift operator. We define a set of energy-preserving shift operators that satisfy many properties similar to their counterparts in classical signal processing. Our definition of the graph shift operator negates the shift operators defined in the literature, such as the graph adjacency matrix and Laplacian matrix based shift operators, which modify the energy of a graph signal. We decouple the graph structure represented by eigengraphs and the eigenvalues of the adjacency matrix or the Laplacian matrix. We show that the adjacency matrix of a graph is indeed a linear shift invariant (LSI) graph filter with respect to the defined shift operator. We introduce graph finite impulse response (GFIR) and graph infinite impulse response (GIIR) filters and obtain explicit forms for such filters. We further define autocorrelation and cross-correlation functions of signals on the graph, enabling us to obtain the solution to the optimal filtering on graphs, i.e., the corresponding Wiener filtering on graphs and the efficient spectra analysis and frequency domain filtering in parallel with those in classical signal processing. This new shift operator based GSP framework enables the signal analysis along a correlation structure defined by a graph shift manifold as opposed to classical signal processing operating on the assumption of the correlation structure with a linear time shift manifold. We further provide the solution to the optimal linear predictor problem over general graphs. Several illustrative simulations are presented to validate the performance of the optimal LSI filters.

研究の動機と目的

• グラフ信号処理（GSP）におけるエネルギー保存型シフト演算子の欠如が、フィルタリングおよびスペクトル解析の整合性を損なうという問題に対処すること。
• 隣接行列やラプラシアン行列の固有値からグラフ構造（固有グラフを介して）を分離し、信号処理演算の独立的設計を可能にすること。
• 新しいシフト演算子に基づくグラフ有限インパulse応答（GFIR）／無限インパulse応答（GIIR）フィルタの形式的フレームワークを確立すること。
• グラフ自己相関関数および相互相関関数を定義し、古典的信号処理に類似した最適線形フィルタリング（ウィーナー・フィルタリング）をグラフ上で実現すること。
• 提案されたシフト演算子フレームワークを用いて、一般のグラフにおける最適線形予測問題を解くこと。

提案手法

• 信号エネルギーが繰り返し適用に対しても不変となる等長的かつエネルギー保存型である新しいグラフシフト演算子を提案する。
• 新しいシフト演算子を用いてグラフフーリエ変換およびスペクトル解析を定義し、古典的信号処理に類似した周波数ドメイン処理を可能にする。
• 新しいシフト演算子から導かれた明示的閉形式表現を持つグラフ有限インパulse応答（GFIR）および無限インパulse応答（GIIR）フィルタを導入する。
• 最適フィルタリングの実現のため、グラフ自己相関および相互相関関数を導出する。
• 線形時不変（LSI）グラフフィルタのフィルタ係数を求めるためにバーデモンド行列の逆行列を用い、計算の効率性を確保する。
• 隣接行列が新しいシフト演算子に関して線形時不変（LSI）グラフフィルタであることが証明され、基本的整合性結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的信号処理における時間シフト演算子に類似した、信号エネルギーを保存するグラフシフト演算子を定義できるか？
• RQ2 グラフ構造を尊重しつつ、古典的信号処理に類似した形で、グラフフィルタリング、スペクトル解析、最適フィルタリングをどのように形式化できるか？
• RQ3 新しいシフト演算子フレームワーク下で、隣接行列が線形時不変フィルタとして果たす役割は何か？
• RQ4 提案された相関関数およびスペクトルフレームワークを用いて、最適ウィーナー・フィルタリングをどのように導出し、実装できるか？
• RQ5 新しいシフト演算子および相関関数を用いて、任意のグラフにおける最適線形予測問題を解くことは可能か？

主な発見

• 提案されたシフト演算子はエネルギー保存型かつ等長的であり、隣接行列やラプラシアン行列とは異なり、繰り返し適用に対しても信号エネルギーを歪めない。
• 隣接行列が新しいシフト演算子に関して線形時不変（LSI）グラフフィルタであることが証明され、基本的整合性特性が確立された。
• バーデモンド行列の逆行列を用いて、GFIRおよびGIIRフィルタの明示的閉形式解が導出され、効率的なフィルタ設計が可能になった。
• グラフ自己相関および相互相関関数が定義され、正確な解析的解を有する最適ウィーナー・フィルタリングの導出が可能になった。
• 新しいフレームワークを用いて、一般のグラフにおける最適線形予測問題が解かれた。シミュレーションによる性能評価も実施された。
• フレームワークにより、古典的信号処理に類似した周波数ドメインでのグラフ信号の並列処理が可能となり、一貫性のあるスペクトル解釈が保証された。