[論文レビュー] On the Shinbrot's criteria for energy equality to Newtonian fluids: A simplified proof, and an extension of the range of application

H. Beirão da Veiga, Jiaqi Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Lions-Prodi の $L^4$ 結果への帰着によって、Leray-Hopf 解におけるエネルギー等式の Shinbrot の基準の簡略化された証明を提供する。さらに、$r \in (3,4)$ へと基準を拡張し、$u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r(\Omega))$ がエネルギー等式を保証することを示す。$r < 4$ の場合、古典的条件 $2/p + 2/r = 1$ よりも制約が厳しいが、$r=3$ および $r=\infty$ の端点でも正則性を示唆する。証明は補間不等式に依拠しており、極めて簡潔かつ洞察に富んでいる。

ABSTRACT

We show that the classical Shinbrot's criteria to guarantee that a Leray-Hopf solution satisfies the energy equality follows trivially from the $L^4( (0\,,T) imesΩ))$ Lions-Prodi particular case. Moreover we extend Shinbrot's result to space coefficients $ r \in (3,\,4)\,.$ In this last case our condition coincides with Shinbrot condition for $r=4$, but for $r&lt;4$ it is more restrictive than the classical one, $ 2/p + 2/r = 1\,.$ It looks significant that in correspondence to the extreme values $r=3$ and $r=\infty$, and just for these two values, the conditions become respectively $u \in L^\infty(L^3)$ and $u \in L^2(L^\infty)$, which imply regularity by appealing to classical Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin (L-P-S) type conditions. However, for values $r\in (3,\infty)$ the L-P-S condition does not apply, even for the more demanding case $\,3

研究の動機と目的

• ナヴィエ＝ストークス方程式の弱解におけるエネルギー等式の Shinbrot の古典的基準の、より簡潔で明確な証明を提供すること。
• 古典的条件 $2/p + 2/r = 1$ が十分でない $r \in (3,4)$ の範囲にまで、Shinbrot の結果を拡張すること。
• $r \in (3,4)$ の拡張された条件が、古典的条件よりも制約が厳しいものの、Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件により端点 $r=3$ および $r=\infty$ での正則性を依然として示すことの証明。
• 特に $L^\infty(L^2)$ および $L^2(L^6)$ の補間技術の重要性を強調し、最小限の技術的負担でこれらの結果を導出すること。

提案手法

• $r \geq 4$ の場合の Shinbrot の $L^{2r/(r-2)}(L^r)$ 条件を、$L^\infty(L^2)$ と $L^r(L^r)$ 間の補間により Lions-Prodi の $L^4$ 結果に帰着すること。
• $r \in [3,4]$ の補間不等式 $\|u\|_{L^4} \leq \|u\|_{L^6}^{3(4-r)/(2(6-r))} \|u\|_{L^r}^{r/(2(6-r))}$ の適用。
• $u$ の $L^4(L^4)$ 範囲を制御するため、指数 $s = (6-r)/(3(4-r))$ および $s' = (6-r)/(2(r-3))$ を用いた Hölder の不等式の使用。
• 新しい可積分性条件 $u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r(\Omega))$ の下で $u$ の $L^4(L^4)$ 範囲が有限であることを示すことにより、エネルギー等式の確立。
• Shinbrot 数 $\theta(p,r) = 2/p + 2/r$ を用いた、新しい条件と古典的 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件および以前の $W^{1,q}$-ベースの基準との比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の補間技術を用いて、ナヴィエ＝ストークス解における Shinbrot のエネルギー等式基準をより簡潔に再証明できるか？
• RQ2 Shinbrot の基準は $r \geq 4$ を超えて $r \in (3,4)$ の範囲へ拡張可能か？ もしそうなら、正確な可積分性条件は何か？
• RQ3 $r \in (3,4)$ の新しい条件は、古典的 $2/p + 2/r = 1$ 条件および Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 正則性基準と比べて、強さの点でどのように異なるか？
• RQ4 新しい条件における端点 $r=3$ および $r=\infty$ が、なぜ既知の正則性基準と一致するのか？ これは解空間の構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $r \geq 4$ の場合、$u \in L^{2r/(r-2)}(0,T; L^r(\Omega))$ の古典的 Shinbrot 基準は、$L^\infty(L^2)$ と $L^r(L^r)$ 間の補間により、Lions-Prodi の $L^4$ 結果から自明に導かれる。
• $r \in (3,4]$ の場合、本論文は新たな十分条件 $u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r(\Omega))$ を確立し、エネルギー等式を保証する。この条件は $r < 4$ の場合、古典的 $2/p + 2/r = 1$ 条件よりも制約が厳しい。
• 端点では、新しい条件は $r=3$ で $u \in L^\infty(L^3)$、$r=\infty$ で $u \in L^2(L^\infty)$ に簡略化され、両者とも Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件により正則性を示すことが知られている。
• Shinbrot 数 $\theta(p,r) = 2/p + 2/r$ は $r \geq 4$ の場合 1 であり、$r \in (3,4]$ の場合 $2 - 4/r$ である。これは、$r$ が 4 を下回るにつれて条件の強度が低下することを示している。
• 拡張された場合の証明は、$L^2(L^6)$ と $L^r(L^r)$ 間の補間、その後に Hölder の不等式を適用するものであり、従来の手法よりも著しく簡潔である。
• $r \in (3,4)$ の範囲において、本結果は独創的である。$r < 4$ の $L^p(L^r)$ 可積分性条件下でエネルギー等式が確立された先行研究は存在しない。