[論文レビュー] On the Signed (Total) $k$-Domination Number of a Graph

Hongyu Liang|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける符号付き（全）$k$-ドミネーション数を調査し、すべての固定された $k \geq 1$ に対してこれらのパラメータを計算することはNP困難であることを証明している。最小および最大次数を用いた符号付き $k$-ドミネーションおよび符号付き全 $k$-ドミネーション数の鋭い下界を確立し、既知の結果を一般化し、極値的グラフ族に対して漸近的にタイトな表現を提供する。

ABSTRACT

Let $k$ be a positive integer and $G=(V,E)$ be a graph of minimum degree at least $k-1$. A function $f:V ightarrow \{-1,1\}$ is called a \emph{signed $k$-dominating function} of $G$ if $\sum_{u\in N_G[v]}f(u)\geq k$ for all $v\in V$. The \emph{signed $k$-domination number} of $G$ is the minimum value of $\sum_{v\in V}f(v)$ taken over all signed $k$-dominating functions of $G$. The \emph{signed total $k$-dominating function} and \emph{signed total $k$-domination number} of $G$ can be similarly defined by changing the closed neighborhood $N_G[v]$ to the open neighborhood $N_G(v)$ in the definition. The \emph{upper signed $k$-domination number} is the maximum value of $\sum_{v\in V}f(v)$ taken over all \emph{minimal} signed $k$-dominating functions of $G$. In this paper, we study these graph parameters from both algorithmic complexity and graph-theoretic perspectives. We prove that for every fixed $k\geq 1$, the problems of computing these three parameters are all \NP-hard. We also present sharp lower bounds on the signed $k$-domination number and signed total $k$-domination number for general graphs in terms of their minimum and maximum degrees, generalizing several known results about signed domination.

研究の動機と目的

• 符号付き $k$-ドミネーション数、符号付き全 $k$-ドミネーション数、および上位符号付き $k$-ドミネーション数を計算する計算複雑性を特定すること。
• 符号付きドミネーションに関する既知の結果を一般化し、符号付き $k$-ドミネーションおよび符号付き全 $k$-ドミネーション数の鋭い下界を導出すること。
• これらの下界がタイトになる極値的グラフ族を、構造的グラフ構成を用いて同定すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題からの帰着を用いて、符号付き $k$-ドミネーションおよび符号付き全 $k$-ドミネーション問題のNP困難性を証明し、符号付き全バージョンに対して詳細な構成を行う。
• すべての $v \in V$ に対して $\sum_{u \in N_G[v]} f(u) \geq k$ を満たす符号付き $k$-ドミネーティング関数 $f: V \to \{-1, 1\}$ を定義し、同様に開近傍を用いた全バージョンについても同様に定義する。
• 最小次数 $\delta$ および最大次数 $\Delta$ を指定された、無限個の完全二部グラフ $K_{a,b}$ の非交差コピーを用いたグラフ族を構成する。
• 完全グラフの1因子分解を用いて、$P$ および $Q$（二部グラフ構成の2つの部分）に含まれる部分グラフを正則化し、正確な次数列 $\delta$ および $\Delta$ を達成する。
• $\delta$, $\Delta$, $k$, および $I_{\delta}, I_{\Delta}$（$\delta$ や $\Delta$ が奇数のとき1、それ以外は0）に依存する $\gamma_{kS}(G)$ および $\gamma^{t}_{kS}(G)$ の閉形式の下界を導出する。
• 極値的グラフ構成を用いて、導出された下界がタイトであることを示し、特定のグラフ族において等号が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての固定された $k \geq 1$ に対して、符号付き $k$-ドミネーション数を計算する問題はNP困難か？
• RQ2 すべての固定された $k \geq 1$ に対して、符号付き全 $k$-ドミネーション数を計算する問題はNP困難か？
• RQ3 グラフの最小次数および最大次数を用いた符号付き $k$-ドミネーション数の最もタイトな下界は何か？
• RQ4 符号付き $k$-ドミネーション数が導出された下界に達するような極値的グラフ族を構成可能か？
• RQ5 符号付き $k$-ドミネーションおよび符号付き全 $k$-ドミネーションの下界は、$k=1$ の場合に既知の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 符号付き $k$-ドミネーション数および符号付き全 $k$-ドミネーション数は、すべての固定された $k \geq 1$ に対して、帰着技術を用いてNP困難であることが証明された。
• 符号付き $k$-ドミネーション数の鋭い下界が確立された：$\gamma_{kS}(G) \geq |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + I_\delta + I_\Delta}{\delta + \Delta + 2 + I_\delta - I_\Delta}$、ここで $I_x = 1$（$x$ が奇数のとき）、さもなくば $0$。
• 任意の $\delta, \Delta$ に対して $\Delta \geq \delta \geq k+1$ を満たす場合、$\gamma_{kS}(G) = |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + I_\delta + I_\Delta}{\delta + \Delta + 2 + I_\delta - I_\Delta}$ を満たす無限グラフ族が存在し、下界のタイトさを示した。
• 符号付き全 $k$-ドミネーション数に対しても同様に鋭い下界が導出された：$\gamma^{t}_{kS}(G) \geq |V(G)| \cdot \frac{\delta - \Delta + 2k + 2 - I_\delta - I\Delta}{\delta + \Delta + I_\Delta - I_\delta}$。
• これらの下界は、$k=1$ の場合に既知の結果（符号付きドミネーションおよび符号付き全ドミネーション数）を一般化し、任意の $k \geq 1$ にまで拡張した。
• 系として、$r \geq k$ を満たすほぼ $r$-正則グラフでは $\gamma_{kS}(G) \geq kn/(r + I_{r-1})$ および $\gamma^{t}_{kS}(G) \geq kn/(r - I_{r-1})$ が成り立ち、また $\Delta(G) \leq \delta(G) + 2k$ のとき $\gamma_{kS}(G) \geq 0$ および $\gamma^{t}_{kS}(G) \geq 0$ が成り立つことが示された。