[論文レビュー] On the Simpson index for the Moran process with random selection and immigration

Arnaud Personne, Arnaud Guillin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間変動する選択と移住を伴う多種群分散モーラン過程におけるシンプソン指数の前向き時刻近似法を提案する。大人口ディフュージョン極限を用いて、誤差を制御可能な解析的取り扱いが可能な指数の期待値の近似式を導出する。主な貢献は、弱選択と確率的環境変動下での生物多様性ダイナミクスの正確で時刻依存の推定を可能にする画期的な前向き手法の確立であり、2種および3種の設定において解析的および数値的結果により検証されている。

ABSTRACT

Moran or Wright-Fisher processes are probably the most well known model to study the evolution of a population under various effects. Our object of study will be the Simpson index which measures the level of diversity of the population, one of the key parameter for ecologists who study for example forest dynamics. Following ecological motivations, we will consider here the case where there are various species with fitness and immigration parameters being random processes (and thus time evolving). To measure biodiversity, ecologists generally use the Simpson index, who has no closed formula, except in the neutral (no selection) case via a backward approach, and which is difficult to evaluate even numerically when the population size is large. Our approach relies on the large population limit in the "weak" selection case, and thus to give a procedure which enable us to approximate, with controlled rate, the expectation of the Simpson index at fixed time. Our approach will be forward and valid for all time, which is the main difference with the historical approach of Kingman, or Krone-Neuhauser. We will also study the long time behaviour of the Wright-Fisher process in a simplified setting, allowing us to get a full picture for the approximation of the expectation of the Simpson index.

研究の動機と目的

• 選択と移住を伴う非中立的で時間変動する生態モデルにおけるシンプソン指数の期待値に対する閉形式解の欠如に取り組むこと。
• すべての時間に有効な大人口極限近似を構築し、キングマンの後向き時刻共通祖先法のような方法の限界を克服すること。
• 弱選択と確率的環境変動下での生物多様性ダイナミクスをモデル化し、フィットネスと移住が時間とともに変化する生態的現実を反映すること。
• 時間依存パラメータを有する多種群集団におけるシンプソン指数を推定する数値的に取り扱いやすい枠組みを提供すること。
• 移住なしおよび移住ありの両状況下での吸収および不変測度の長期的挙動を分析すること。

提案手法

• 時間依存選択と移住パラメータを伴う離散的モーラン過程のディフュージョン近似を、大人口極限で導出する。
• 伊藤の公式とマルティンゲール技法を用いて、時間依存選択と移住パラメータ下でのシンプソン指数の期待値を導出する。
• 2種モデルにおける吸収時間と到達確率の分析に、ディフュージョン理論におけるスケール関数とスピード測度を応用する。
• ディフュージョン過程の生成作用素から導かれる常微分方程式の解を用いて、シンプソン指数の期待値の明示的近似式を導出する。
• モーメント近似技法の一般化を用いて、3種以上への枠組みの拡張を行い、過程の長期的挙動を分析する。
• さまざまなパラメータ設定下で、近似式と正確値またはシミュレーション値を比較することで、結果の妥当性を数値的応用により検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動選択と移住を伴う多種群モーラン過程におけるシンプソン指数の期待値をどのように近似できるか？
• RQ2 弱選択と確率的移住下でのシンプソン指数の長期的挙動は、特に吸収と不変分布の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ3 有限時間枠組み内での精度と適用可能性の観点から、提案された前向き時刻手法は、古典的な後向き時刻共通祖先法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 確率的選択と移住が、シンプソン指数で測定される生物多様性ダイナミクスに及ぼす影響は何か？
• RQ5 プロセスが吸収状態に達するか、または定常分布に収束する条件は何か。また、これらの条件は移住率と選択強度パラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 本稿では、ディフュージョン極限に基づく前向き手法を用いて、任意の固定時刻におけるシンプソン指数の期待値について、誤差を制御可能なレートの近似式を導出する。この近似式は、すべての時間枠に対して有効である。
• 2種モデルでは、2階常微分方程式の解を用いて、吸収までの期待時間の明示的近似式が得られ、マルティンゲール技法による境界が得られる。
• 非ゼロの移住がある場合の長期的挙動は、不変測度の存在によって特徴づけられ、境界（0および1）への再帰条件が移住率と選択強度に依存することが示された。
• 選択が確率的かつ時間変動的である場合、モデルは、選択係数の時間的相関性と大きさに応じて、生物多様性が維持されたり増加したりする可能性を示している。
• 数値的結果は、特に弱選択領域において、中程度の集団サイズに対しても近似式が高い精度を示していることを確認している。
• 分析により、中立モデルと比較して、確率的移住と選択が、シンプソン指数を顕著に高めることが判明しており、これは多様性の増加を促す可能性のあるメカニズムであると示唆されている。