[論文レビュー] On the singular scheme of codimension one holomorphic foliations in P^3

Luis Giraldo, Antonio J. Pan-Collantes|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℙ³における余次元1の正則foliationの接層の代数的幾何的性質と特異的スキームの幾何的構造との間の明確な関係を確立する。接層が局所自由であることは、特異的スキームが曲線であることにちょうど同値であり、接層が分解する（split）ことは、その曲線が算術的にコhen-Macaulayであることとちょうど同値である。これにより、特異的スキームを用いた分解foliationの完全な特徴付けが得られる。

ABSTRACT

In this work, we begin by showing that a holomorphic foliation with singularities is reduced if and only if its normal sheaf is torsion free. In addition, when the codimension of the singular locus is at least two, it is shown that being reduced is equivalent to the reflexivity of the tangent sheaf. Our main results state on one hand, that the tangent sheaf of a codimension one foliation in P^3 is locally free if and only the singular scheme is a curve, and that it splits if and only if that curve is arithmetically Cohen-Macaulay. On the other hand, we discuss when a split foliation in P^3 is determined by its singular scheme.

研究の動機と目的

• ℙ³における余次元1の正則foliationの接層の代数的構造と特異的スキームの幾何的性質との間の対応関係を確立すること。
• 特異的スキームがfoliationを一意に決定する条件、特に接層が分解している場合を特定すること。
• Suwaが提起した、1次元的で非特異なfoliationの接層の局所自由性に関する問題を解消すること。
• 特異的スキームの定義イデアルの飽和を用いて、接層の分解性を特徴付ける代数的基準を提供すること。
• ℙ²からℙ³へのfoliationの一意性に関する結果を、特に負の分解型を持つ分解foliationについて拡張すること。

提案手法

• 正則的・ねじれのない層の理論を用いて、正則foliationの積分可能性と特異点を分析する。
• ℙ³における正則的層に関するRoggeroの結果を応用し、特異的locusの余次元と純粋性が接層の正則性とどのように関係するかを明らかにする。
• コホロロジー的技法と接層の正則切断の空間の構造を用いて、分解型を特徴付ける。
• foliationを定義する1形式ωについて、積分可能性条件を楔積条件 ω ∧ dω = 0 として扱う。
• 対数的および例外的foliationの具体例を用いた計算により、特異的スキームからfoliationの一意性が成り立つかを検証する。
• 定義する1形式の係数によって生成される斉次イデアルの飽和概念を用いて、分解性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ³における余次元1のfoliationの接層が局所自由であるのはいつか？ その条件は特異的スキームにどのような幾何的性質を要請するか？
• RQ2 このようなfoliationの接層が分解する条件は何か？ それは特異的スキームの算術的性質とどのように関係するか？
• RQ3 ℙ³における余次元1のfoliationは、特異的スキームによって一意に決定可能か？ 特に接層が分解している場合に限って検討する。
• RQ4 ℙ³における非特異的1次元foliationの接層は常に局所自由か？ また、特異的locusの余次元が2以上であるとき、接層の正則性が局所自由性を意味するか？
• RQ5 分解型 𝒪_{ℙ³}(a) ⊕ 𝒪_{ℙ³}(b) で a,b ≤ -1 である場合、特異的スキームからのfoliationの一意性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ℙ³における余次元1の正則foliationの接層が局所自由であることは、特異的スキームが曲線（つまり、純次元1のコhen-Macaulayスキーム）であることとちょうど同値である。
• 接層が 𝒪_{ℙ³}(a) ⊕ 𝒪_{ℙ³}(b) に分解する（split）ことは、特異的スキームが算術的にコhen-Macaulayな曲線であることとちょうど同値である。
• 接層が正則的であることは、foliationが非特異的であることにちょうど同値であり、特異的locusの余次元が2以上である場合に成立する。
• 接層が局所自由であることは、正則foliationに対して、正規化層がねじれのないこととちょうど同値であることを示し、重要な同値関係を確立する。
• 分解型 𝒪_{ℙ³}(a) ⊕ 𝒪_{ℙ³}(b) で a,b ≤ -1 である分解foliationでは、特異的スキームによって一意に決定される。
• 接層に 𝒪_{ℙ³}(1) に同型な部分バンドルが含まれる場合、foliationは平面への線形引き戻しであり、次数 d ≠ 1 のとき、特異的スキームによって一意に決定される。