[論文レビュー] On the singular sets of solutions to the Kapustin-Witten equations and the Vafa-Witten ones on compact Kähler surfaces

Yuuji Tanaka|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上のKapustin-WittenおよびVafa-Witten方程式の解における特異集合の構造を調査する。Higgs場のL²ノルムが無限大に発散する解の列の極限挙動を分析することで、解が集中または発散する特異集合が、解析的部分多様体をなすことが示される。主な結果は、Kapustin-WittenおよびVafa-Witten両方の特異集合が、極限の正則切断の零点集合として正確に特定されることであり、これはコンpact Kähler多様体上での自然な複素解析的構造を有することを確認する。

ABSTRACT

This article finds a structure of singular sets on compact Kahler surfaces, which Taubes introduced in the studies of the asymptotic analysis of solutions to the Kapustin-Witten equations and the Vafa-Witten ones originally on smooth four-manifolds. These equations can be seen as real four-dimensional analogues of the Hitchin equations on Riemann surfaces, and one of common obstacles to be overcome is a certain unboundedness of solutions to these equations, especially of the "Higgs fields". The singular sets by Taubes describe part of the limiting behaviour of a sequence of solutions with this unboundedness property, and Taubes proved that the real two-dimensional Haussdorff measures of these singular sets are finite. In this article, we look into the singular sets, when the underlying manifold is a compact Kahler surface, and find out that they have the structure of an analytic subvariety in this case.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上でのKapustin-WittenおよびVafa-Witten方程式の解の漸近的解析において生じる特異集合の幾何的構造を理解すること。
• 一般の4次元多様体に対して開発されたTaubesの特異集合解析を、追加の複素構造が存在する特別な場合であるコンpact Kähler多様体に拡張すること。
• Kähler条件のもとで、これらの方程式の特異集合が複素解析的構造を有するかどうかを特定すること。
• 特異集合が極限の正則切断の零点集合として正確に対応することを確立し、それらが解析的部分多様体であることを示すこと。

提案手法

• Higgs場のL²ノルムが発散するKapustin-WittenおよびVafa-Witten方程式の解の列を分析する。
• TaubesのUhlenbeck風のコンパクトネスおよび部分的スケーリング技法を適用し、特異集合の外側で極限対象を抽出する。
• 2×2トレースフリー行列に対して成り立つ不等式 |Φ|⁴ ≤ 4|det Φ|² + |[Φ, Φ*]|² を用いて、Higgs場のノルムをその行列式および交換子のノルムで制御する。
• 特異集合を、スケーリングされたHiggs場の局所的極限として得られる正則切断の零点集合として特定する。
• コンpact Kähler多様体上での複素解析的技法を用いて、特異集合が解析的部分多様体であることを証明する。
• Kähler構造を活用して方程式を複素形式に書き直し、解析に正則幾何学の道具を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上でのKapustin-Witten方程式の解の特異集合は、複素解析的構造を有するか？
• RQ2 Vafa-Witten方程式の特異集合は、極限の正則切断の零点集合として特定できるか？
• RQ3 Kähler条件は、一般の4次元多様体と比較して特異集合の構造をどのように精緻にするか？
• RQ4 Vafa-Wittenの場合に、特異集合とスケーリングされたHiggs場の行列式との正確な関係は何か？

主な発見

• コンpact Kähler多様体上でのKapustin-Witten方程式の解の特異集合は、解析的部分多様体であり、特に2つの正則切断の零点集合の共通部分として特定される。
• Vafa-Witten方程式の場合、特異集合Z′は、KX⊗²に値をとる極限正則切断detφ⋄の零点集合として正確に特定されるため、解析的部分多様体である。
• Vafa-Wittenの場合の特異集合は、スケーリングされたHiggs場の行列式の零点集合として生じ、これはC∞で正則切断に収束する。
• 特異集合のハウスドルフ測度は、有限である。これはTaubesの一般的結果と整合的であるが、今や解析的部分多様体としての追加的構造が保証される。
• スケーリングされたHiggs場が正則切断に収束することにより、特異集合は任意ではなく、表面の複素幾何学と本質的に関連していることが保証される。
• ランク2の場合、特異集合Dはdetφ⋄の零点集合として定義され、このDは特異集合Z′と一致する。これによりDが解析的部分多様体であることが証明される。