[論文レビュー] On the singularities of the theta divisors on Jacobians

Paul Bressler, J-L. Brylinski|ArXiv.org|Jan 22, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非双曲的曲線のヤコビ多様体上のシータ divisor の特異点を交差コホモロジーを用いて調査する。特異点集合が局所的完全交差であることを確立し、そのコホモロジー的不変量を計算することで、ブリル-ノイマン理論を用いた特異点の層化の明確な記述がなされる。

ABSTRACT

We study the intersection cohomology of the theta divisors on Jacobians of nonhyperelliptic curves.

研究の動機と目的

• 非双曲的曲線のヤコビ多様体上のシータ divisor の特異点集合を理解すること。
• シータ divisor の特異点の局所的幾何学的およびコホモロジー的構造を分析すること。
• シータ divisor の特異点を代数的曲線の線型系列のブリル-ノイマン理論に関連付けること。
• シータ divisor の交差コホモロジー群を計算し、それらの位相的不変量を特定すること。
• 特異点集合が局所的完全交差であることを確立し、ヤコビ多様体の幾何学に関する以前の結果を精緻化すること。

提案手法

• アーベル多様体の幾何学における重要な不変量であるシータ divisor の特異点を調査するために、交差コホモロジーを用いる。
• perverse ファンクターの理論と分解定理を応用し、特異点集合のコホモロジー的構造を分析する。
• リーマンのシータ divisor 及びその特異点を用いて、線型系列を通じてヤコビ多様体の幾何を調べる。
• 古典的な特殊線型系列の理論およびブリル-ノイマンlocus を用いて特異点を特徴付ける。
• 非双曲的曲線では、シータ divisor が特異点が制御された対称的シータ divisor であるという事実に依拠する。
• 特にショットキー問題の文脈において、アーベル多様体内の特異点の局所的構造に関する代数幾何学の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的曲線のヤコビ多様体上のシータ divisor の特異点集合の局所的構造は何か？
• RQ2 シータ divisor の交差コホモロジー群は、曲線の幾何をどのように反映するか？
• RQ3 シータ divisor の特異点は、曲線のブリル-ノイマン理論によってどの程度決定されるか？
• RQ4 シータ divisor の特異点集合はヤコビ多様体において局所的完全交差か？
• RQ5 特異点集合の正確なコホモロジー的不変量は何か？ そしてそれは曲線のモジュライとどのように関係するか？

主な発見

• 非双曲的曲線のヤコビ多様体上のシータ divisor の特異点集合は、局所的完全交差部分多様体である。
• シータ divisor の交差コホモロジー群が計算され、それが曲線のブリル-ノイマン層化を反映していることが示された。
• 特異点は、次数 ≤ g−1 かつ次元 ≥ 2 である特別な線型系列の存在によって正確に制御される。
• 特異点集合の次元は、対応するブリル-ノイマン locus の次元に等しく、これは予想的な記述を確認するものである。
• 本論文は、シータ divisor の特異点が任意ではなく、幾何的に意味のある線型系列から生じることを確立した。
• 特異点集合のコホモロジー的不変量が非自明であり、曲線のモジュライ的性質を反映していることが示された。