[論文レビュー] On the size of a finite vacant cluster of random interlacements with small intensity

Augusto Teixeira|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 5 および小きい強度 u におけるランダムインタラリオンモデルにおいて、原点を含む有限空隙クラスタの直径および体積の伸びた指数的尾部境界を確立する。段階的（cascading）な議論と経路回避の推定を用いて、高確率で、唯一の無限空隙成分が原点の大きな近傍に広く存在することを示し、有限クラスタのサイズに関する明確な指数的減衰推定を提供する。

ABSTRACT

In this paper we establish some properties of percolation for the vacant set of random interlacements, for d at least 5 and small intensity u. The model of random interlacements was first introduced by A.S. Sznitman in arXiv:0704.2560. It is known that, for small u, almost surely there is a unique infinite connected component in the vacant set left by the random interlacements at level u, see arXiv:0808.3344 and arXiv:0805.4106. We estimate here the distribution of the diameter and the volume of the vacant component at level u containing the origin, given that it is finite. This comes as a by-product of our main theorem, which proves a stretched exponential bound on the probability that the interlacement set separates two macroscopic connected sets in a large cube. As another application, we show that with high probability, the unique infinite connected component of the vacant set is `ubiquitous' in large neighborhoods of the origin.

研究の動機と目的

• ランダムインタラリオンモデルにおける小きい強度 u における、原点を含む有限空隙クラスタのサイズ分布を分析すること。
• 大きなボックス内でインタラリオン集合が2つの巨視的連結集合を分離する確率に対する伸びた指数的上界を確立すること。
• 唯一の無限空隙成分が原点の大きな近傍に広く存在することを示すこと。
• 下臨界領域における、原点の有限空隙クラスタの直径および体積の定量的尾部推定を提供すること。
• 無限成分の存在性を超えて、ランダムインタラリオンモデルにおける透過的性質の理解を拡張すること。

提案手法

• インタラリオンが大きなボックス内で巨視的成分を分離するならば、その分離性質がより細かいスケールへと伝搬されることを段階的議論により示す。
• L₀ ≥ 1 および L ≥ 40 に対して、Lκ = L₀(80L)κ（κ ≥ 0）となる入れ子のボックスを用いたスケールベースの分解を採用する。
• 強マルコフ性および経路結合技術を用いて、異なるスケールにおける分離事象の確率を制御する。
• 有限集合の容量に関する推定およびランダムウォーク経路の回避性質を活用し、分離確率を評価する。
• 集合の「埋め込み（fill）」の概念を用いて、空隙集合における接続性および分離性を分析し、埋め込み集合の直径および境界性質に関する主要な補題を提示する。
• 経路回避と成分分離の結果を組み合わせ、定理3.2における主要な伸びた指数的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限であると与えられた場合、原点を含む有限空隙クラスタの直径の尾部挙動はいかなるものか？
• RQ2 原点における有限空隙クラスタの体積が大きくなるに従い、その確率はどのように減少するか？
• RQ3 唯一の無限空隙成分は、原点の大きな近傍においてどの程度「広く存在する」のであろうか？
• RQ4 クラスタサイズの尾部減衰に対して、下界と上界を一致させられるか、その指数は何か？
• RQ5 長距離相関のため、ランダムインタラリオンモデルのスケーリング性質は、i.i.d. ベルヌーイ透過とどのように異なるか？

主な発見

• d ≥ 5 および小きい u に対して、有限であると与えられた場合、原点を含む空隙クラスタの直径が少なくとも N に達する確率は、exp(−c₅(u)N) より速く減少し、かつ c₆ exp(−c₇N^α) より遅く減少する（ある α > 0 に対して）。
• 原点における有限空隙クラスタの体積が V である確率は、c₈(u) exp(−c₉V^{(d−2)/d} log V) より速く減少し、かつ c₆ exp(−c₇V^{α/d}) より遅く減少する（V ≥ 1 に対して）。
• 高確率で、唯一の無限空隙成分は、直径が少なくとも γN である B(0, N) の任意の連結部分集合の境界と交わる（任意の γ ∈ (0,1) に対して）、かつその確率は 1 − c₃ exp(−c₄N^α) 以上である。
• B(0, N) 内の空隙集合の任意の連結部分集合が、直径が (log N)^{(1+ǫ)/α} 以上である場合、無限空隙成分と交わらない確率は N → ∞ のとき 0 に収束する。
• インタラリオンが大きなボックス内で2つの巨視的成分を分離する事象（分離事象）は、exp(−c₂N^α) のオーダーで伸びた指数的尾部境界を持つ。これは主要な技術的結果である。
• 結果は、i.i.d. 透過とは異なり、ランダムインタラリオン測度の高次元依存構造に対しても頑健である。このため、i.i.d. 透過の手法の直接適用は不可能である。