[論文レビュー] On the size of Diophantine m-tuples

Andrej Dujella|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2000

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固定された非ゼロ整数 $ n $ に対して、任意の異なる2要素の積に $ n $ を加えたものが完全平方数となる正の整数の集合（Diophantine $ m $-tuple）のサイズに関する新たな上界を確立する。Diophantine近似、ギャップ原理、および大スクリーブ法を用いて、$ |n| \leq 400 $ の場合、最大サイズは32以下であることを証明し、$ |n| > 400 $ の場合、サイズは $ 267.81 \log|n| (\log\log|n|)^2 $ で有界であることを示した。これは従来の推定を著しく改善し、このような集合が常にサイズに上限をもつのかどうかという長年の未解決問題に前進をもたらした。

ABSTRACT

Let n be a nonzero integer and assume that a set S of positive integers has the property that xy+n is a perfect square whenever x and y are distinct elements of S. In this paper we find some upper bounds for the size of the set S. We prove that if |n| <= 400 then |S| <= 32, and if |n| > 400 then |S| < 267.81 log|n| (log log|n|)^2. The question whether there exists an absolute bound (independent on n) for |S| still remains open.

研究の動機と目的

• 固定された非ゼロ整数 $ n $ に対して、性質 $ D(n) $ を持つDiophantine $ m $-tuple の最大サイズに対する有効な上界を確立すること。
• このような集合のサイズが $ n $ に依存しない絶対的な上界をもつのかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• ギャップ原理と大スクリーブ法といった既存の技術を、$ |n| $ に対して相対的に大きく、小さく、非常に小さい要素に分けた範囲に適用することで、それらを精緻化すること。
• Diophantine近似、楕円曲線、スクリーブ法の結果を組み合わせることで、より鋭い漸近的上界を導出すること。

提案手法

• 集合 $ S $ を $ |n| $ に対するサイズの観点から3つの部分に分割：$ A_n $（$ \geq |n|^3 $ の要素）、$ B_n $（$ (n^2, |n|^3) $ の要素）、$ C_n $（$ \leq n^2 $ の要素）として、それぞれの範囲を別々に分析する。
• Bennettの定理（代数的数の同時近似に関する）を用いて $ A_n $ を評価し、すべての $ n \neq 0 $ に対して $ A_n \leq 21 $ を得る。
• ギャップ原理の弱い版を用いて $ B_n $ を評価し、$ B_n < 0.65 \log|n| + 2.24 $ を得る。
• Gallagherの大スクリーブ法を用いて $ C_n $ を評価し、$ |n| \geq 400 $ の場合、$ C_n < 265.55 \log|n| (\log\log|n|)^2 + 9.01 \log\log|n| $ を得る。
• 三つの上界を $ M_n \leq A_n + B_n + C_n $ として組み合わせ、$ |n| \leq 400 $ の場合は直接計算により $ C_n \leq 5 $ および $ B_n \leq 6 $ を得る。
• 変換 $ \{a_i\} \to \{a_i c\} $ を用いて $ M = \sup M_n = C $ を示し、問題を $ C_n $ の上界を求める問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質 $ D(n) $ を持つDiophantine $ m $-tuple の最大サイズは何か？ そして、このサイズは $ n $ に依存しない普遍的な上界をもつのか？
• RQ2 要素を $ |n| $ に対して相対的に大きく、小さく、非常に小さいカテゴリに分けることにより、$ D(n) $-集合のサイズをどのように上界で抑えられるか？
• RQ3 Diophantine近似とスクリーブ法の技術を効果的に組み合わせることで、$ D(n) $-集合のサイズに対する非自明な漸近的上界を導出できるか？
• RQ4 最小の要素（$ \leq n^2 $ の要素）が $ D(n) $-集合の総サイズに与える寄与は何か？ そして、これを一様に上界で抑えられるか？
• RQ5 一般型の代数的多様体上の有理点に関するLang予想が $ M_n $ の有限性を示唆するのか？ そして、その予想を用いて有効な上界を導く手がかりを得られるか？

主な発見

• $ |n| \leq 400 $ の場合、性質 $ D(n) $ を持つDiophantine $ m $-tuple の最大サイズは、直接計算と $ B_n $、$ C_n $ の上界の組み合わせにより、32以下であることが示された。
• $ |n| > 400 $ の場合、任意の $ D(n) $-集合のサイズは、$ C_n $ に対する大スクリーブ法の上界から、$ 267.81 \log|n| (\log\log|n|)^2 $ で有界であることが導かれた。
• $ |n|^3 $ 以上の要素数 $ A_n $ の上界は、Bennettの定理を用いることで、$ n $ に依存せず常に $ \leq 21 $ に抑えられる。
• 中間範囲 $ (n^2, |n|^3) $ の要素数 $ B_n $ の上界は、$ \log|n| $ に比例して増加し、$ < 0.65 \log|n| + 2.24 $ である。
• 最小の要素（$ \leq n^2 $）の寄与が漸近的上界の主な要因となっており、$ \log|n| (\log\log|n|)^2 $ の増加の主な原因となっている。
• 本稿では、$ C < \infty $（すなわち、$ n^2 $ 以下の要素数が一様に有界である）ことを示せれば、$ M < \infty $ が導かれることが示され、グローバルな問題がこの1つの範囲に還元されることを示した。