[論文レビュー] On the Size of Good-For-Games Rabin Automata and Its Link with the Memory in Muller Games

Antonio Casares, Thomas Colcombet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ミュラー言語を認識する最小の良いゲーム用（GFG）ライビンオートマトンのサイズと、その言語を勝利条件とするミュラー・ゲームに必要な最小メモリ量との間で、きつい対応関係を確立している。最小のGFGライビンオートマトンが決定的オートマトンよりも指数的に短く表現可能であることを示し、ミュラー・ゲームにおける色分けされたメモリ（chromatic memory）が、制約のないメモリよりも指数的に大きくなり得ることを明らかにした。また、ツェロニカ木構造を用いた多項式時間の構成法も提示している。

ABSTRACT

In this paper, we look at good-for-games Rabin automata that recognise a Muller language (a language that is entirely characterised by the set of letters that appear infinitely often in each word). We establish that minimal such automata are exactly of the same size as the minimal memory required for winning Muller games that have this language as their winning condition. We show how to effectively construct such minimal automata. Finally, we establish that these automata can be exponentially more succinct than equivalent deterministic ones, thus proving as a consequence that chromatic memory for winning a Muller game can be exponentially larger than unconstrained memory.

研究の動機と目的

• 与えられた勝利条件に対して、最小の良いゲーム用ライビンオートマトンのサイズと、ミュラー・ゲームに勝つために必要な最小メモリ量との間の構造的・定量的関係を確立すること。
• ミュラー言語に対して、ツェロニカ木を用いた一般化された最小GFGライビンオートマトンの構成法を提供すること。
• ミュラー・ゲームにおける色分けされたメモリが、制約のないメモリよりも指数的に大きくなる可能性があることを示し、ゲーム複雑性分野における重要な問いに答えること。

提案手法

• ミュラー条件の構造的表現としてツェロニカ木を用い、メモリ要件を特徴づけ、オートマトンの構築を導く。
• アルファベットの部分集合に基づくグラフGFnを定義し、頂点を色の集合、辺をライビン条件における不適合性を表す。
• 極値グラフ理論、特にターラン型の境界とエルドシュ＝コ＝ラドの定理の変種（定理29）を適用し、GFnの彩色数を評価する。
• スターリングの近似を用いて、GFnの彩色数の漸近的下界を導出し、これが最小GFGライビンオートマトンのサイズに対応することを示す。
• GFnの彩色に基づいて最小GFGライビンオートマトンを構築し、それが目的のミュラー言語を正しく認識することを保証する。
• 最小メモリサイズが、L-ゲームに勝つために必要な最小状態数のGFGライビンオートマトンの状態数と等しいことを証明し、ゲームのメモリとオートマトンサイズの双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた勝利条件に対して、最小の良いゲーム用ライビンオートマトンのサイズと、ミュラー・ゲームに勝つために必要な最小メモリ量との正確な関係は何か？
• RQ2 ミュラー言語の最小GFGライビンオートマトンは、効率的に構築可能か？また、その構成法は言語のツェロニカ木と関連しているか？
• RQ3 ミュラー・ゲームにおける色分けされたメモリのサイズは、制約のないメモリと比べてどれほど大きくなるか？その差は指数的になり得るか？
• RQ4 一般化された方法で、ミュラー言語の最小GFGライビンオートマトンを構築可能か？また、その構成法はツェロニカ木のような構造的性質に依存するか？
• RQ5 特定のミュラー言語に対して、最小GFGライビンオートマトンのサイズの漸近的下界は何か？その成長が指数的になることは示せるか？

主な発見

• ミュラー言語Lの最小GFGライビンオートマトンのサイズは、すべてのL-ゲームに勝つために必要な最小メモリ量に正確に等しい。
• Lがそのツェロニカ木によって与えられるとき、Lの最小GFGライビンオートマトンは多項式時間で構築可能である。
• L-ゲームに勝つために必要な色分けされたメモリは、制約のないメモリよりも指数的に大きくなる可能性があり、後者でさえアルファベットサイズに線形にとどまる場合でも同様である。
• ライビン条件を符号化するグラフGFnの彩色数は、最小GFGライビンオートマトンのサイズに対するタイトな下界を提供し、Ω(1.116^n)の割合で増加する。
• 無限に多くのnに対して、GFnの彩色数はα^n以上（α > 1）であることが保証され、最小GFGライビンオートマトンが決定的オートマトンよりも指数的に短縮可能であることを示した。
• GFnの彩色に基づく最小GFGライビンオートマトンの構成法は最適であり、直接的にミュラー・ゲームにおける最小メモリサイズを導く。