[論文レビュー] On the sizes of the Jordan blocks of monodromies at infinity

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式写像 f: ℂⁿ → ℂ の無限遠におけるモノドロミーにおける固有値 λ ≠ 1 に対応するジョルダン標準形のサイズおよび個数の一般化された上界を、混合ホッジモジュールおよび perverse 奏の道具を用いて確立する。主な結果は、Dimca-Saito の λ = 1 の場合の境界をすべての λ ≠ 1 に拡張し、Φⱼ^∞ における固有値 λ の最大ジョルダンブロックのサイズが j+1 以下であることを示す。また、無限遠の除数の各層に沿った局所系統を用いて、このような最大ブロックの個数に関するコhomologicalな上界を提供する。

ABSTRACT

We obtain general upper bounds of the sizes and the numbers of Jordan blocks for the eigenvalues $λ ot= 1$ in the monodromies at infinity of polynomial maps.

研究の動機と目的

• 無限遠におけるモノドロミーのジョルダンブロックサイズの上界を、固有値 λ = 1 からすべての λ ≠ 1 に一般化すること。
• Φⱼ^∞ における固有値 λ ≠ 1 の最大サイズ j+1 のジョルダンブロックの個数に対する上界を導出すること。
• ねじれ性や無限遠における非退化性の仮定をせず、一般の多項式写像にまで拡張された結果を得ること。
• 混合ホッジモジュールにおける重みフィルトレーションおよび原始的分解の構造を用いて、モノドロミー作用を分析すること。

提案手法

• 多項式写像の全空間上の perverse sheaves における近傍サイクル関手および分解定理を用いる。
• Gr^W(F_λ) の原始的分解の幾何的記述を適用し、モノドロミー作用を分析する。
• モノドロミー作用素の対数を用いて、Φ_u − id のノルム部分 N_λ およびユニポテンツ部分 M_λ を構成する。
• F_λ ⊕ F_λ̄ に付随する混合ホッジモジュールの重みフィルトレーション W を用いて、ジョルダンブロックのサイズを制限する。
• U 上での N_λ^j の像のコホモロジーを分析し、最大ジョルダンブロックの個数を制限する。
• 層 U_I 上の局所系統 L_λ,I の構造を用いて、関係するコホモロジー群の次元を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠におけるモノドロミー Φⱼ^∞ における固有値 λ ≠ 1 のジョルダンブロックの最大サイズは何か？
• RQ2 Φⱼ^∞ における固有値 λ ≠ 1 のサイズ j+1 のジョルダンブロックは最大で何個存在できるか？
• RQ3 このような最大ブロックの個数は、無限遠におけるニュートン多面体の幾何的性質で制限されるか？
• RQ4 混合ホッジモジュールの重みフィルトレーションおよび原始的分解は、λ ≠ 1 の場合のモノドロミー作用にどのように制限を加えるか？
• RQ5 層 U_I 上の局所系統 L_λ,I は、モノドロミーのコホモロジー的不変量をどのように制御するか？

主な発見

• Φⱼ^∞ における固有値 λ ≠ 1 の任意のジョルダンブロックのサイズは、j+1 以下である。これはモノドロミー定理を非1固有値に一般化する。
• Φⱼ^∞ における固有値 λ ≠ 1 のサイズ j+1 のジョルダンブロックの個数は、H^{j−n+1}(U; G) の次元によって上界が与えられる。ここで G = Im(N_λ^j) ⊂ F_λ である。
• この個数はさらに dim H^{j−n+1}(U; Gr^{W}_{n−j−1} F_λ) によっても上界が与えられ、重みフィルトレーションの各次元の寄与を制御する。
• 最大ジョルダンブロックの個数の上界は、無限遠の除数の各層 U_I 上の局所系統 L_λ,I のコホモロジーによって制御され、i ∉ R_λ である成分 E_i の周りでモノドロミーが λ^{-b_i} ≠ 1 である場合に寄与する。
• 0 ≤ j ≤ n−2 の場合、固有値 λ ≠ 1 のサイズ j+1 のジョルダンブロックの個数は通常 0 である。これは、上位コホモロジーの場合と比較して、一般固有空間がより単純であることを示唆する。
• 結果はねじれ性や非退化性の仮定をせず、一般の多項式写像に適用可能である。