[論文レビュー] On the skeleton of the pyramidal tours polytope

В. А. Бондаренко, Andrei V. Nikolaev|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Optimization and Packing Problems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ピラミダルツアー多面体 PYR(n) における頂点の隣接性の必要十分条件を確立し、線形時間の隣接性テストを可能にする。1次スケルトンの直径が2であり、クリーク数がΘ(n²)であることを証明しており、線形比較に基づくアルゴリズムの計算量が多項式的であることを示唆する。これは一般TSP多面体の指数的クリーク数とは対照的である。

ABSTRACT

We consider the skeleton of the pyramidal tours polytope. Hamiltonian tour is called pyramidal if the salesperson starts in city $1$, then visits some cities in increasing order, reaches city $n$ and returns to city $1$, visiting the remaining cities in decreasing order. The polytope $PYR(n)$ is defined as the convex hull of characteristic vectors of all pyramidal tours in the complete graph $K_{n}$. The skeleton of the polytope $PYR(n)$ is the graph whose vertex set is the vertex set of $PYR(n)$ and edge set is the set of geometric edges or one-dimensional faces of $PYR(n)$. We describe the necessary and sufficient condition for the adjacency of vertices of the polytope $PYR(n)$. On this basis we developed an algorithm to check the vertex adjacency with a linear complexity. We establish that the diameter of $PYR(n)$ skeleton equals 2, and the asymptotically exact estimate of $PYR(n)$ skeleton's clique number is $Θ(n^{2})$. It is known that this value characterizes the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons.

研究の動機と目的

• ピラミダルツアー多面体 PYR(n) における頂点隣接性を特徴づけること。
• PYR(n) における頂点隣接性をテストする効率的なアルゴリズムを開発すること。
• PYR(n) の1次スケルトンの直径とクリーク数を特定すること。
• 一般TSP多面体 TSP(n) と比較して、PYR(n) の多面体的構造を評価すること。
• 組合せ最適化における多面体的複雑さとアルゴリズム的複雑さの関係を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、都市1から出発し、都市を1番目からn番目まで順次訪問し、その後減少順に帰路をとるハミルトン閉路をピラミダルツアーと定義する。
• それらの特徴的ベクトルの構造に基づき、2つのピラミダルツアーが多面体内で隣接するための必要十分条件を導出する。
• この条件を用いて、PYR(n) における頂点隣接性をテストする線形時間のアルゴリズムを設計する。
• 組合せ的および幾何的議論を用いて、PYR(n) の1次スケルトンの直径が正確に2であることを証明する。
• クリーク数の下界を、(⌊(n−3)/4⌋+1)² 個のペアワイズ隣接するピラミダルツアーからなる集合Zを構成することで確立する。
• 下界と上界を組み合わせることで、クリーク数が漸近的にΘ(n²)であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピラミダルツアー多面体 PYR(n) の2つの頂点が隣接するための必要十分条件は何か？
• RQ2 PYR(n) の1次スケルトンの直径は何か？
• RQ3 PYR(n) の1次スケルトンのクリーク数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 PYR(n) の多面体的構造は、一般TSP多面体 TSP(n) とどのように比較できるか？
• RQ5 PYR(n) における頂点隣接性テストの計算量複雑度は何か？

主な発見

• 本稿は、ピラミダルツアー多面体 PYR(n) における頂点隣接性の必要十分条件を提供し、その結果、線形時間で隣接性をテストできるアルゴリズムを可能にする。
• PYR(n) の1次スケルトンの直径は正確に2であり、任意の2つの頂点が高々2本の辺からなる経路で接続されることを意味する。
• PYR(n) の1次スケルトンのクリーク数はΘ(n²)であり、これは多項式的かつ漸近的に正確な値である。
• クリーク数の下界は、(⌊(n−3)/4⌋+1)² 個のペアワイズ隣接するピラミダルツアーからなる集合を構成することで確立される。
• クリーク数の上界は、特徴的ベクトルの可能な構成の数を数えることで得られるO(n²)である。
• 結果から、PYR(n) は一般TSPのようなNP困難問題よりも多項式的に解ける問題に近い多面体的性質を持つことが示唆される。