[論文レビュー] On the Skolem Problem for Continuous Linear Dynamical Systems

Ventsislav Chonev, Joël Ouaknine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Schanuel予想の下で、有界連続スコロン問題の決定可能性を確立し、線形微分方程式を満たす指数多項式の零点が有限精度の計算によって検出可能であることを示している。さらに、有理的に独立な周波数が最大で一つ、または単純な特徴根をもつ二つの周波数がある場合、非有界問題を有界問題に還元する。この還元は、ディオファントス近似の深い結果と結びついている。

ABSTRACT

The Continuous Skolem Problem asks whether a real-valued function satisfying a linear differential equation has a zero in a given interval of real numbers. This is a fundamental reachability problem for continuous linear dynamical systems, such as linear hybrid automata and continuous-time Markov chains. Decidability of the problem is currently open---indeed decidability is open even for the sub-problem in which a zero is sought in a bounded interval. In this paper we show decidability of the bounded problem subject to Schanuel's Conjecture, a unifying conjecture in transcendental number theory. We furthermore analyse the unbounded problem in terms of the frequencies of the differential equation, that is, the imaginary parts of the characteristic roots. We show that the unbounded problem can be reduced to the bounded problem if there is at most one rationally linearly independent frequency, or if there are two rationally linearly independent frequencies and all characteristic roots are simple. We complete the picture by showing that decidability of the unbounded problem in the case of two (or more) rationally linearly independent frequencies would entail a major new effectiveness result in Diophantine approximation, namely computability of the Diophantine-approximation types of all real algebraic numbers.

研究の動機と目的

• 連続線形力学系における基本的な到達可能性問題である連続スコロン問題の決定可能性を扱う。
• 実代数的係数および初期条件をもつ線形微分方程式の実数値解が、与えられた区間内でゼロを持つかどうかを調査する。
• 非有界問題が有界問題に還元される条件を特定する。
• 決定可能性を超越数論における深い予想、特にSchanuel予想および有効なディオファントス近似と結びつける。

提案手法

• Schanuel予想を用いて、指数多項式が零点検出を可能にする因数分解を有することを示し、有限精度の数値計算による検出を可能にする。
• 実代数的係数をもつ指数多項式の和として表される線形微分方程式の解の構造を分析する。
• 有理的に独立な周波数の状況における稠密な軌道の挙動を扱うために、Kroneckerの近似定理を適用する。
• 有理的に独立な周波数が最大で一つ、または単純な特徴根をもつ二つの周波数がある場合、非有界問題を有界問題に還元する。
• 半代数的集合とセル分解を用いて、位相空間における解集合の幾何構造を分析する。
• 一般の二周波数ケースにおける決定可能性が、すべての実代数的数のディオファントス近似型の計算可能性を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Schanuel予想の下で、有界連続スコロン問題は決定可能か？
• RQ2 非有界連続スコロン問題が有界問題に還元可能な条件は何か？
• RQ3 周波数の有理的線形独立性が問題の決定可能性に果たす役割は何か？
• RQ4 二周波数ケースにおける決定可能性は追加仮定なしに達成可能か？ その場合、ディオファントス近似にどのような意味があるか？
• RQ5 複数の独立な周波数をもつ非有界問題の決定可能性を実現するためには、どの程度の有効性結果が必要か？

主な発見

• Schanuel予想を仮定すれば、有界連続スコロン問題は決定可能であり、有限精度の数値手法による零点検出が可能である。
• 有理的に線形独立な周波数が最大で一つの場合は、非有界問題が有界問題に還元される。
• 有理的に線形独立な周波数が二つで、すべての特徴根が単純な場合は、非有界問題も有界問題に還元される。
• 二つ以上の有理的に独立な周波数をもつ非有界問題の決定可能性が成立すれば、すべての実代数的数のディオファントス近似型の計算可能性が示唆される。
• このような仮定がない場合、問題は未解決であり、その決定可能性は有効なディオファントス近似における未解決問題と深く結びついている。