[論文レビュー] On the slope of the moduli space of genus 15 and 16 curves

Dennis Tseng|arXiv (Cornell University)|May 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ChangとRan（1986）が genus 15および16の曲線のモジュライ空間の勾配を計算するために用いた公式における符号の誤りを是正する。修正された公式を1パラメータ族の空間曲線にモノイドを用いて再適用することで、勾配の下界を再計算する。$ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.53 $ が得られ、これは無理的であることを確認する。一方、$ s(\overline{\mathscr{M}_{16}}) \gtrsim 6.008 $ であり、その無理的性については未解決のまま残る。

ABSTRACT

We revisit the work of Chang and Ran on bounding the slopes of $\overline{\mathscr{M}_{15}}$ and $\overline{\mathscr{M}_{16}}$, correct one of the formulas used at the conclusion of the argument, and recompute the lower bounds on the slopes, yielding $s(\overline{\mathscr{M}_{15}})>6.5$ but not for $\overline{\mathscr{M}_{16}}$. Our contribution only involves plugging in formulas.

研究の動機と目的

• ChangとRan（1986）が $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ および $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の勾配を計算するために用いたチャーン類の公式における符号の誤りを是正すること。
• 是正された公式を用いて、genus 15および16の曲線モジュライ空間の勾配の下界を再計算すること。
• [CR91] の修正計算に基づいて、$ s(\overline{\mathscr{M}_{16}}) > 6.5 $ であるという元の主張が依然として成り立つかどうかを検証すること。
• 修正された勾配推定値に基づいて、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の無理的性が未解決のまま残っているかどうかを特定すること。

提案手法

• 表面の $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^3 $ 内の仮想チャーン数の退化局所化公式を再検討し、[HT84] の元の公式における符号の誤りを是正する。
• 是正された定理2.1を用いて、モノイドを介して空間曲線族の $ c_1(Z)^2 $ および $ c_2(Z) $ を計算する。
• 是正されたチャーン数の計算を用いて、$ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ の勾配を再導出し、$ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) = \frac{98}{15} \approx 6.53 $ を得る。
• 同様の是正された公式を、[CR91] のタイプ $ \beta $ の族に適用し、$ \delta_0 $ および $ \delta_1 $ からの勾配寄与を再計算する。
• 基底変換およびブLOW-up構成の下での $ \lambda $、$ \delta_0 $、$ \delta_1 $ の引き戻しを計算し、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ への誘導写像の勾配を特定する。
• 是正された $ \delta_0 $ の補正項が [CR91] に記載されたものと一致することを検証し、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の再計算された勾配の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の公式が [CR86] で $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ の勾配を計算するために用いられ、勾配の下界に影響を与える符号の誤りを含んでいないか？
• RQ2 [CR86] の公式を是正した後、$ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ の勾配の正しい下界は何か？
• RQ3 是正された計算が、$ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ が無理的であるという元の結論を支持するか？
• RQ4 [CR91] の公式を是正した後、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の勾配が依然として 6.5 より大きいといえるか？
• RQ5 修正された勾配推定値に基づき、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の無理的性は未解決のまま残っているか？

主な発見

• $ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ の是正された勾配下界は $ \frac{98}{15} \approx 6.53 $ であり、6.5 を超えるため、元の無理的性に関する定性的な結果が確認される。
• 元の主張 $ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.66 $ は $ s(\overline{\mathscr{M}_{15}}) > 6.53 $ に是正されるが、$ \overline{\mathscr{M}_{15}} $ が無理的であるという結論は依然有効である。
• $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の再計算された勾配は $ \frac{1472}{245} \approx 6.008 $ であり、元の主張の 6.567 よりも顕著に低い。
• 是正された $ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の勾配は、無理的性を結論づけるには不十分であり、その問題は未解決のまま残る。
• この是正は [HT84] における符号の誤りと、[CR86] および [CR91] へのその影響を解消する。特に、$ (-c_1(M) + 2c_1)c_3 $ の表現における符号の誤りが特定される。
• 計算により、[CR91] の $ \delta_0 $ に対する補正項が修正された公式と一致することが確認され、$ \overline{\mathscr{M}_{16}} $ の再計算された勾配の妥当性が裏付けられる。