[論文レビュー] On the small-time behaviour of Lévy-type processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限小生成子の記号を用いて小時間パス挙動を特徴付ける、1次元のFeller型およびLévy型過程のクラスに対するChung型繰り返し対数法則（LIL）を確立する。主な結果は、時間0近傍における過程の上界および増分の概収束のliminfおよびlimsupの漸近的性質を提供し、記号から導かれる正規化関数を用いる。これは、Lévy過程に対する古典的LIL結果を一般化するものである。

ABSTRACT

We show some Chung-type $\liminf$ law of the iterated logarithm results at zero for a class of (pure-jump) Feller or Lévy-type processes. This class includes all Lévy processes. The norming function is given in terms of the symbol of the infinitesimal generator of the process. In the Lévy case, the symbol coincides with the characteristic exponent.

研究の動機と目的

• Lévy過程からFeller過程への古典的Chung型繰り返し対数法則（LIL）を、状態依存的特徴を持つより広いクラスのFeller過程へと拡張すること。
• 純ジャンプ的Feller過程の小時間挙動を、その無限小生成子の記号を用いて特徴付けること。これは、Lévy状態における特性指数の一般化である。
• 記号に基づく正規化関数を用いて、時間0近傍における過程の上界および増分の概収束のliminfおよびlimsupを導出すること。
• 記号の成長具合に応じて、|X_t - x| / w(t,x) のliminfが概収束的に正または無限大に発散するための基準を確立すること。
• 変数係数擬微分作用素生成子を用いて状態依存ダイナミクスを組み込むことにより、既存のLévy過程のLIL結果を一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、Feller過程の無限小生成子の記号 $ p(x, \rho) $ を中心的な道具として用い、過程の小時間スケーリングを支配する正規化関数 $ u^{-1}(x, t / \text{log}|\\text{log}\tfrac{1}{t}|) $, $ v(t,x) $, および $ w(t,x) $ を定義する。
• 特にジャンプ測度およびドリフト成分に注目し、記号のLévy-Khintchine表現を用いて、特性関数 $ \rho \to \rho(x, \rho) $ の境界を導出する。
• 証明技法は、特性関数 $ \rho \to \rho(x, \rho) $ の指数モーメントによる推定と、Fatouの補題およびBorel-Cantelliの補題を用いて概収束結果を導出することに依拠する。
• 実部に関する矛盾による証明法を用いる：liminfが0であると仮定すると、記号の成長条件のもとで特性関数の指数的減衰と矛盾する。
• 特に $ \text{Re}(e^{i\theta}) \to 1 $ が $ \theta \to 0 $ のとき成り立ち、$ |\text{Re}(z)| \to 1 $ の下界と組み合わせることで、$ \text{liminf} |X_t - x| / w(t,x) = 0 $ を仮定した場合に矛盾を導く。
• 証明は2つの場合に分ける：$ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) = c(x) > 0 $ のときは $ \text{liminf} |X_t - x| / w(t,x) > 0 $、発散する場合は $ \text{liminf} = \text{infty} $ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feller過程の近傍時間0における上界 $ \text{sup}_{0 \to s \to t} |X_s - x| $ の小時間漸近的挙動は何か？
• RQ2 無限小生成子の記号を用いて、Feller過程のLIL型結果を導く正規化関数をどのように定義できるか？
• RQ3 記号にどのような条件下で、$ |X_t - x| / w(t,x) $ のliminfが概収束的に正または無限大に発散するか？
• RQ4 Feller過程の非一様系への一般化として、Lévy過程の既存のLIL結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 記号から導かれる関数 $ g(\rho) $ は、LILにおける正規化関数 $ w(t,x) $ の成長率を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• Feller過程が記号 $ p(x, \rho) $ を持つとき、$ \frac{\text{sup}_{0 \to s \to t} |X_s - x|}{u^{-1}(x, t / \text{log}|\\text{log}\tfrac{1}{t}|)} $ のliminfは、記号から導かれる関数 $ u $ を用いて、概収束的に正の定数 $ C(x) $ に等しい。
• $ \frac{\text{sup}_{s \to t} |X_s - x|}{v(t,x)} $ のlimsupは、記号の成長具合に応じて、概収束的に0または $ +\text{infty} $ となる。
• $ \frac{|X_t - x|}{w(t,x)} $ のliminfは、$ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) $ が正または無限大であるかに応じて、概収束的に正または無限大となる。ここで $ g $ は記号に関連する関数である。
• 対称Lévy状態では、$ \text{liminf}_{t \to 0} t \rho(1/w(t)) = c > 0 $ ならば、$ \text{liminf} |X_t| / w(t) > 0 $ が概収束的に成り立ち、極限が $ \text{infty} $ ならば、liminfは概収束的に $ \text{infty} $ である。
• 証明により、$ \text{liminf} |X_t - x| / w(t,x) = 0 $ を仮定すると、特性関数の指数的減衰と矛盾し、したがってliminfは正でなければならないことが示される。
• $ \text{liminf}_{t \to 0} t g(1/w(x,t)) = c(x) > 0 $ ならば、$ |X_t - x| / w(t,x) $ のliminfは概収束的に0から離れている。さらに、$ \text{inf}_x c(x) > 0 $ ならば、$ \text{inf}_x \text{liminf} |X_t - x| / w(t,x) > 0 $ が成り立つ。