[論文レビュー] On the smoothness of Hölder-doubling measures

David Preiss, Xavier Tolsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2007

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ℝᵐ の部分集合における Hölder-二重化測度が、二重化比に一様な Hölder 型の制御を受ける場合、n ≥ 3 のときには n 次元 Hausdorff 測度がゼロである集合を除き、その台は C¹,β となる部分多様体であると示している。n = 1, 2 の場合には、全域で C¹,β となる部分多様体である。主な結果は、従来の平坦性に基づく正則性定理を、グローバルな平坦性を仮定せずに一般のcodimensionにまで拡張し、Hölder誤差項を伴う漸近的二重化が、零集合を除き滑らかさを示すことを示している。

ABSTRACT

In this paper we consider the question of whether the doubling character of a measure supported on a subset of $\RR^m$ determines the regularity of its support (in a classical sense). This problem was studied by David, Kenig and Toro for codimension 1 sets under the assumption that the support be flat. Here we study the higher codimension case and remove the flatness hypothesis.

研究の動機と目的

• 測度が ℝᵐ の部分集合上で二重化性を示す場合、その台の古典的意味での正則性が保証されるかを特定すること。
• ℝᵐ における codimension 1 からの従来の漸近的二重化測度の正則性結果を、一般のcodimensionにまで拡張すること。
• 高次元codimensionの場合に平坦性仮定を除去し、台の滑らかさが n 次元 Hausdorff 測度がゼロである集合を除き成り立つことを示すこと。
• Rₜ(x,r) を通じた二重化比に対する Hölder 型の制御が、台の C¹,β 正則性を示すこと

提案手法

• Σ ∩ B(x,r) と x を通る n 次元平面との間の正規化された Hausdorff 距離の下界を測度論的平坦性量 θ(x,r) として定義する。
• 漸近的二重化挙動を測るため、二重化偏差 Rₜ(x,r) = μ(B(x,tr))/μ(B(x,r)) − tⁿ を導入する。
• K ⊂ Σ がコンパクトで t ∈ [1/2,1] のとき |Rₜ(x,r)| ≤ Cₖ r^α ならば、n ≥ 3 のとき台 Σ は零集合を除き C¹,β 正則であることを証明する。
• ブロー・アップ解析と接空間測度を用いて、測度が Hölder 誤差を伴い漸近的に二重化されるならば、接空間測度は無限遠で平坦であるが、原点では平坦ではない可能性があるため、矛盾を導く。
• 一般化された Reifenberg 定理と β-数を用いて、すべてのスケールにおける測度の平坦性を制御する。
• 弱コンパクト性と測度の収束を用いて、局所的推定をグローバルな正則性に拡張し、台が n 空間容量がゼロである集合を除き C¹,β となる部分多様体であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hölder 誤差項を伴う漸近的二重化性を持つ測度が、高次元codimensionにおいて台の C¹,β 正則性を示すか？
• RQ2 n ≥ 3 の場合に、正則性理論における Reifenberg 平坦性仮定を除去できるか？
• RQ3 二重化比が tⁿ から O(r^α) のオーダーで逸脱するとき、台の正確な正則性は何か？
• RQ4 Hölder-二重化条件のもとで、台の特異点集合は n 次元 Hausdorff 測度がゼロである必要があるか？
• RQ5 β-数と接空間測度の振る舞いは、Hölder-二重化制御下での台の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• n = 1,2 のとき、t ∈ [1/2,1] に対して |Rₜ(x,r)| ≤ Cₖ r^α ならば、台 Σ は ℝᵐ の C¹,β となる部分多様体である。
• n ≥ 3 のとき、同じ条件下で、Σ は n 次元 Hausdorff 測度がゼロである閉集合 𝒮 を除き、ℝᵐ の C¹,β となる部分多様体である。
• Rₜ(x,r) に対する Hölder 制御は、より強い条件を示している：すべての t ∈ (0,1] および x ∈ K に対して |Rₜ(x,r)| ≤ Cₖ r^α が成り立つ。
• 証明はブロー・アップ解析に依存している：台が滑らかでないと仮定すると、接空間測度は無限遠で平坦であるが原点では平坦ではないため、矛盾が生じる。
• グローバルな Reifenberg 平坦性を仮定せず、Hölder-二重化制御のもとで滑らかさが成り立つことが示され、滑らかさが局所的性質であることが明らかになった。
• 正則性の閾値 β は α のみに依存し、β = β(α) > 0 であり、台のコンパクト部分集合全体にわたって一様である。