[論文レビュー] On the Solvability of Maxwell's Equations

W. Engelhardt|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Advanced Scientific and Engineering Studies参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、振動電気双極子源を用いたローレンツゲージおよびコーリュームゲージにおけるマクスウェル方程式の可解性を調査し、遅延積分解が本来解くべき非同次波動方程式を満たさないことを明らかにした。主な発見は、標準的定式化における内部的矛盾である：波動方程式から導かれる遅延ポテンシャルは実際にそれらの波動方程式を満たさず、従来の方法で応用される古典電磁力学の基礎が揺るがされる。

ABSTRACT

Complementing a study which was published in this journal in 2005, we present explicit calculations of fields predicted by Maxwell's equations both in Lorenz and in Coulomb gauge. Analytic expressions are obtainable, when the source of the fields is an oscillating electric dipole. As before it is found that the fields calculated by different methods are at variance. In addition, the reason for the discrepancies is revealed: The retarded integrals turn out not to satisfy the inhomogeneous wave equations which they are supposed to solve.

研究の動機と目的

• 異なるゲージ、特にローレンツゲージおよびコーリュームゲージにおけるマクスウェル方程式の解の整合性を調査すること。
• 非同次波動方程式の遅延積分解が実際にその波動方程式を満たすかどうかを特定すること。
• 特に振動電気双極子源に対して、異なるゲージ手法による場の計算に生じる不一致を解消すること。
• 非同次波動方程式の解を構成するためのデュハメルの原理の有効性を検討すること。
• 電磁力学における近似場（即時的）と放射場（放射的）の解の分離の理論的根拠を明確にすること。

提案手法

• 振動電気双極子源に対してローレンツゲージを用いて電磁ポテンシャルおよび場を明示的に計算し、解析的表現を得ること。
• 同じ双極子源に対してコーリュームゲージを適用し、明確な極限値を持つ不適切積分を計算すること。
• 空間的に拡張した源に対する非同次波動方程式の導出と解析を行い、標準的遅延解が実際にそれらを満たすかを検証すること。
• 異なるゲージからの解を比較し、場の予測に生じる矛盾を特定すること。
• 波動方程式に対して、同次解から解を構成するためのデュハメルの原理の使用を試み、その有効性を検証すること。
• 電場および磁場の分解を用いて、即時的（コーリューム型）および波動的（放射的）成分に場を分離すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次波動方程式の遅延積分解が、本来解くべき波動方程式を実際に満たすのか？
• RQ2 ローレンツゲージおよびコーリュームゲージにおけるマクスウェル方程式の解が、同じ双極子源に対して異なる電磁場をもたらすのはなぜか？
• RQ3 非同次波動方程式の解を同次方程式の解から構成するためのデュハメルの原理は有効か？
• RQ4 有限速度伝播を伴う波動方程式に対して、標準的遅延ポテンシャル形式を一貫して適用できるか？
• RQ5 古典電磁力学における近似場と遠方場の解の分離の理論的根拠は何か？

主な発見

• 非同次波動方程式の遅延積分解は、本来解くべき波動方程式を満たさない。これは、標準的アプローチにおける根本的な不整合を示している。
• ローレンツゲージおよびコーリュームゲージにおける解は、同じ振動電気双極子源に対して異なる電磁場をもたらす。これは、ゲージ依存性の結果であることが確認された。
• 波動方程式に対してデュハメルの原理を用いることは不適切である。波動方程式の有限伝播速度は、原理が即時的応答を仮定していることに反する。
• 標準的遅延ポテンシャル形式は、波動方程式の源項における時間変数が適切に遅延されていないため、論理的不整合を生じる。
• 近似場（即時的）と遠方場（放射的）の解は、それぞれ楕円型方程式と双曲型方程式に由来するため、別個に取り扱う必要がある。
• 本論文は、マクスウェル方程式内に即時的および放射的場を統合的に扱う理論的枠組みを構築することは、現在のところ不可能であると結論づける。