[論文レビュー] On the Sormani-Wenger Intrinsic Flat Convergence of Alexandrov Spaces

Nan Li, Raquel Perales|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、下に有界な曲率と一様に有界な直径を持つ閉アレクサンドロフ空間に従属する $n$ 次元整数的カレント空間の列について、その列が崩壊しない場合、Sormani-Wenger の内在的フラット極限と Gromov-Hausdorff 極限が一致することを確立する。主な結果は、Gromov-Hausdorff 極限における正則点における質量測度の下位 $n$ 次元密度が正であることであり、これは埋め込み体積推定を用いて証明され、崩壊しない列が両方の位相で同一の極限空間に収束し、重み1のカレント構造とゼロ境界を有することが保証される。

ABSTRACT

We study sequences of integral current spaces $(X_j,d_j,T_j)$ such that the integral current structure $T_j$ has weight $1$ and no boundary and, all $(X_j,d_j)$ are closed Alexandrov spaces with curvature uniformly bounded from below and diameter uniformly bounded from above. We prove that for such sequences either their limits collapse or the Gromov-Hausdorff and Sormani-Wenger Intrinsic Flat limits agree. The latter is done showing that the lower $n$ dimensional density of the mass measure at any regular point of the Gromov-Hausdorff limit space is positive by passing to a filling volume estimate. In an appendix we show that the filling volume of the standard $n$ dimensional integral current space coming from an $n$ dimensional sphere of radius $r>0$ in Euclidean space equals $r^n$ times the filling volume of the $n$ dimensional integral current space coming from the $n$ dimensional sphere of radius $1$.

研究の動機と目的

• 整数的カレント空間の列の Sormani-Wenger の内在的フラット極限と Gromov-Hausdorff 極限が一致する条件を特定すること。
• 特に崩壊する列において内在的フラット極限と Gromov-Hausdorff 極限が一致しないという課題に対処すること。
• 重み1で境界のない $n$ 次元整数的カレント空間の列について、下界のある曲率と直径の上限が、内在的フラット極限がゼロであるか、あるいは両極限が一致することを示すこと。
• 埋め込み体積推定を用いて、Gromov-Hausdorff 極限における正則点における質量測度の下位 $n$ 次元密度が正であることを確立すること。

提案手法

• 非負のリッチ曲率を有するリーマン多様体に対して Sormani-Wenger が示した証明戦略を、下に有界な曲率を有するアレクサンドロフ空間の設定に適応する。
• 内在的フラット収束における質量測度の下半連続性を用いて、極限カレント構造の振る舞いを制御する。
• 埋め込み体積推定を用いて、Gromov-Hausdorff 極限における正則点における質量測度の下位 $n$ 次元密度が正の定数で下から抑えられることを証明する。
• ユークリッド空間内の $n$ 次元球における埋め込み体積のスケーリング性質を確立し、${\operatorname{FillVol}}(\partial M^\prime(r)) = r^n \cdot {\operatorname{FillVol}}(\partial M^\prime(1))$ を示す。
• 定理 A.3 で形式化された、内在的フラット収束における埋め込み体積の連続性を用いて、異なる位相間の極限を比較する。
• 半径 $r$ の球の境界の埋め込み体積が、単位球のそれの $r^n$ 倍に比例することを活用し、極限における質量測度の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数的カレント空間の列の Sormani-Wenger の内在的フラット極限と Gromov-Hausdorff 極限が一致する条件は何か？
• RQ2 曲率と直径の上限を満たすアレクサンドロフ空間の列について、Gromov-Hausdorff 極限における正則点における質量測度の下位 $n$ 次元密度が正であることを確立できるか？
• RQ3 $ mathbb{R}^n$ 内の球の境界の埋め込み体積は、$r^n$ 倍の単位球の埋め込み体積に比例するか？
• RQ4 重み1で境界のない $n$ 次元整数的カレント空間の列の内在的フラット極限がゼロカレント空間に等しいのは、Gromov-Hausdorff の意味で列が崩壊するときかつそのときに限るか？
• RQ5 埋め込み体積のスケーリングは、極限におけるカレント構造の保存とどのように関係するか？

主な発見

• 重み1で境界のない $n$ 次元整数的カレント空間の列について、Gromov-Hausdorff 極限が崩壊していない場合、内在的フラット極限はそれと一致する。
• Gromov-Hausdorff 極限における任意の正則点における質量測度の下位 $n$ 次元密度は、埋め込み体積推定を用いて正の定数で下から抑えられる。
• $ mathbb{R}^n$ 内の半径 $r$ の球の境界の埋め込み体積は、単位球の境界の埋め込み体積の $r^n$ 倍に等しく、すなわち ${\operatorname{FillVol}}(\partial M^\prime(r)) = r^n \cdot {\operatorname{FillVol}}(\partial M^\prime(1))$ が成り立つ。
• 重み1で境界のない $n$ 次元整数的カレント空間の列の内在的フラット極限がゼロ整数的カレント空間に等しいのは、Gromov-Hausdorff の意味で列が崩壊するときかつそのときに限る。
• 内在的フラット収束における埋め込み体積の連続性により、小さな内在的フラット距離は境界の埋め込み体積の小さな変化を意味し、極限構造の安定性を支持する。
• 証明戦略は、非負のリッチ曲率を有する空間からアレクサンドロフ空間への下界のある曲率にまで拡張され、両極限が一致する空間のクラスが拡大された。