[論文レビュー] On the space of Type-2 interval with limit, continuity and differentiability of Type-2 interval-valued functions

Sadikur Rahman, Ali Akbar Shaikh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、両端が区間であるタイプ2区間値関数を導入し、拡張されたムーア距離を用いて完全な距離空間を構築する。これらの関数について、極限、連続性、およびgH微分可能性を定義し、空間が完全であること、およびタイプ2設定における一般化されたフクハラ微分可能性の基礎的性質を示す。

ABSTRACT

This paper deals with the new concept of interval whose both the bounds themselves are also intervals. We name this new type of interval as Type-2 interval. Here we have introduced Type-2 interval-valued function and its properties. To serve this purpose, we have defined a distance on the set of all Type-2 intervals, named as extended Moore distance for Type-2 intervals which is a metric on the set of all Type-2 intervals. Then we have shown that the space of Type-2 interval is a complete metric space with respect to extended Moore distance. Then we have introduced the concept of limit-continuity for Type-2 interval-valued function of single variable and also, we have derived some elementary properties of this concept. Subsequently, we have presented the idea of generalised Hukuhara difference on the set of Type-2 intervals. Finally, using this difference, we have defined gH-differentiability of Type-2 interval-valued function and discussed some of its properties.

研究の動機と目的

• 両端が区間である新しい種類の区間、すなわちタイプ2区間を形式化し、より高次の不確実性のモデル化を可能にする。
• タイプ2区間の集合に距離を定義し、これを拡張されたムーア距離と呼ぶことで、位相的および解析的演算を支援する。
• 拡張されたムーア距離の下で、タイプ2区間の空間が完全な距離空間であることを確立する。
• 単一変数のタイプ2区間値関数について、極限と連続性の概念を定義する。
• タイプ2区間値関数の一般化されたフクハラ微分可能性を定義し、その性質を検討する。

提案手法

• 拡張されたムーア距離が、すべてのタイプ2区間の集合に距離として定義され、空間が完全であることを保証する。
• 本稿ではタイプ2区間の空間を構築し、拡張されたムーア距離の下でそれが完全であることを証明する。
• タイプ2区間値関数の極限と連続性は、実数値関数と類似した方法で定義されるが、区間値の境界に適応させられている。
• 微分の定義を支援するため、タイプ2区間の集合に一般化されたフクハラ差分を導入する。
• 一般化されたフクハラ差分を用いてgH微分可能性を定義し、古典的微分可能性をタイプ2区間値関数へ拡張する。
• gH微分可能性の基本的性質、たとえば線形性や合成関数の微分法則の類似物が、特定の条件下で導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両端が区間であるタイプ2区間に対して、完全な距離空間を構築できるか？
• RQ2 極限と連続性の概念をタイプ2区間値関数へ意味的に拡張する方法は何か？
• RQ3 微分可能性を可能にするために、タイプ2区間におけるフクハラ差分の適切な一般化は何か？
• RQ4 gH微分可能性はどのように定義され、タイプ2区間値関数の文脈でどのような性質を満たすか？
• RQ5 拡張されたムーア距離は、タイプ2区間空間における位相的および解析的整合性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 拡張されたムーア距離を備えたタイプ2区間の空間は、完全な距離空間を形成する。
• 拡張されたムーア距離は距離空間の公理をすべて満たしており、収束性および連続性の厳密な解析を可能にする。
• タイプ2区間値関数の極限と連続性は、明確に定義されており、古典的実解析の性質の類似物を満たす。
• 一般化されたフクハラ差分が導入され、タイプ2区間の構造と整合的であることが示された。
• タイプ2区間値関数に対してgH微分可能性が定義され、線形性などの基本的性質が導出された。
• この枠組みは、タイプ2区間値関数における微積分のさらなる発展、たとえば不確実性下での積分や最適化の基礎を提供する。