[論文レビュー] On The Spaces of Fibonacci Difference Null and Convergent Sequences

Metin Başarır, Feyzı Başar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2013

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、フィボナッチ数列を用いて定義されるフィボナッチ差分行列 $\widehat{F}$ を用いて、系列空間 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ を導入し、それらを分析する。包含関係を確立し、シューマン基底を構成し、アルファ・ベータ・ガンマ双対を計算し、さまざまな古典的系列空間への行列変換を特徴づける。

ABSTRACT

In the present paper, by using the band matrix F defined by the Fibonacci sequence, we introduce the sequence sequence spaces c_0(F) and c(F). Also, we give some inclusion relations and construct the bases of the spaces c_0(F) and c(F). Finally, we compute the alpha-, beta-, gamma-duals of these spaces and characterize the classes (c_0(F),X) and (c(F),X) for certain choice of the sequence space X.

研究の動機と目的

• フィボナッチ差分行列 $\widehat{F}$ を用いて新しい系列空間 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ を定義し、差分系列空間の理論を拡張すること。
• $c_0(\widehat{F})$, $c(\widehat{F})$ と古典的系列空間との間の包含関係を確立すること。
• $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のシューマン基底を構成すること。
• $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のアルファ・ベータ・ガンマ双対を計算すること。
• $X$ を $\ell_\infty$, $f$, $c$, $f_0$, $c_0$, $bs$, $fs$, $\ell_1$ のいずれかとするとき、行列変換のクラス $(c_0(\widehat{F}), X)$ および $(c(\widehat{F}), X)$ を特徴づけること。

提案手法

• フィボナッチ数列 $(f_n)$ を用いてフィボナッチ差分行列 $\widehat{F}$ を定義し、各行が3つの連続する項の線形結合に対応する。
• $c_0(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c_0\}$ および $c(\widehat{F}) = \{x \in \omega : \widehat{F}x \in c\}$ として、$c_0$ および $c$ における $\widehat{F}$ の行列ドメインとして系列空間を導入する。
• $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ の系列の成長および収束挙動を $\ell_p$, $c_0$, $c$, その他の古典的空間と比較することで、包含関係を確立する。
• 標準基底系列 $e^{(n)}$ 及び $\widehat{F}^{-1}$ によるそれらの変換を用いて、$c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のシューマン基底を構成する。
• 標準的双対理論および行列変換基準を用いて、$c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のアルファ・ベータ・ガンマ双対を計算する。
• $X \in \{\ell_\infty, f, c, f_0, c_0, bs, fs, \ell_1\}$ の場合に、無限行列条件（極限および一様有界性を含む）の体系を用いて、行列クラス $(c_0(\widehat{F}), X)$ および $(c(\widehat{F}), X)$ を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ差分行列を用いて定義された系列空間 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ の構造的性質は何か？
• RQ2 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ は、$c_0$, $c$, $\ell_p$, $\ell_\infty$ などの古典的系列空間と、包含関係においてどのように関係しているか？
• RQ3 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のシューマン基底は何か？
• RQ4 $c_0(\widehat{F})$ と $c(\widehat{F})$ のアルファ・ベータ・ガンマ双対は何か？
• RQ5 どの無限行列が $c_0(\widehat{F})$ や $c(\widehat{F})$ を他の古典的系列空間へまたはそれらから写像するか？ そのような変換の必要十分条件は何か？

主な発見

• 系列空間 $c_0(\widehat{F})$ は $c(\widehat{F})$ の真部分空間であり、両者とも行列ドメイン構成によって誘導されるノルムのもとで $BK$-空間である。
• $c_0(\widehat{F})$ のシューマン基底は、$b^{(k)} = \widehat{F}^{-1}e^{(k)}$ で与えられる集合 $\{b^{(k)}\}_{k=1}^\infty$ であり、$c(\widehat{F})$ の場合も同様である。
• $c_0(\widehat{F})$ のアルファ双対は、すべての $y$ に対して $\sum_{k=0}^\infty |y_k| < \infty$ を満たすような系列からなる。ベータ双対およびガンマ双対は、行列要素に関する特定の有界性および収束条件によって特徴づけられる。
• クラス $(c_0(\widehat{F}), \ell_1)$ は条件 (4.11)、(4.12)、(4.15) によって特徴づけられ、行和の一様有界性および列和の収束性が条件となる。
• クラス $(c(\widehat{F}), c)$ は条件 (4.11)、(4.12)、(4.13)、(4.14)、(4.16)、(4.17) によって特徴づけられ、行列変換が有限極限に収束することを保証する。
• クラス $(c(\widehat{F}), f_0)$ は条件 (4.11)、(4.12)、(4.16)、(4.17) および追加の条件 $\alpha_k = 0$ for all $k$ によって特徴づけられ、これは終着空間における零系列条件を反映している。