[論文レビュー] On the Spectral Equivalence of Koopman Operators through Delay Embedding

Yoshihiko Susuki, Kyoichi Sako+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、測度保存型力学系のコープマン作用素とその遅延埋め込み再構成の間でスペクトル同等性を確立し、元の系の固有値および固有関数が、時系列データに拡張動的モード分解（EDMD）を適用することで信頼性高く推定できることを証明する。主な結果は、再構成空間上のコープマン作用素が元の作用素とユニタリ同等であるため、コンパクトで測度保存型の系において遅延埋め込みによるスペクトルの忠実性が保証されることである。

ABSTRACT

We provide one theorem of spectral equivalence of Koopman operators of an original dynamical system and its reconstructed one through the delay-embedding technique. The theorem is proved for measure-preserving maps (e.g. dynamics on compact attractors) and provides a mathematical foundation of computing spectral properties of the Koopman operators by a combination of extended dynamic mode decomposition and delay-embedding.

研究の動機と目的

• スカラー時系列データからの遅延埋め込み技術を用いてコープマン作用素のスペクトルを推定するための数学的基盤を確立すること。
• 測度保存型力学系において、遅延埋め込みによってコープマン作用素のスペクトル特性が保存されるかどうかという根本的問題を解消すること。
• 再構成された状態力学系に拡張動的モード分解（EDMD）を適用することで、元の系のコープマンスペクトルを近似する手法の信頼性を検証すること。
• ホームオモーレジズム φ を通じて、元の力学系と再構成された力学系のコープマン作用素の関係を形式化すること。

提案手法

• 単一の観測可能変数とその時間遅れ版を用いて、状態空間の遅延埋め込み再構成を構築するためにタケンズの埋め込み定理を用いる。
• 元の多様体 M から再構成空間 Φ(M) ⊂ ℝ^(2m+1) へのホメオモルフィズム φ を定義し、元の写像と再構成写像の間の可換図式を可能にする。
• g ↦ g∘φ で定義される合成作用素 C_φ: L₂(φ(M)) → L₂(M) を導入し、再構成空間上の観測量を元の空間に戻す。
• 測度保存条件の下で C_φ がユニタリであることを証明し、内積構造およびスペクトル構造の等長的保存を保証する。
• 元の空間と再構成空間上のコープマン作用素の間で C_φ ∘ U_~T = U_T ∘ C_φ という可換関係を確立する。
• 合成作用素 C_φ を通じたコープマン作用素のユニタリ同等性から、スペクトル同等性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度保存型力学系のコープマン作用素スペクトルは、遅延埋め込み再構成によっても同等のままであるか？
• RQ2 遅延埋め込みデータに拡張動的モード分解（EDMD）を適用することで、元の系のコープマンスペクトルを信頼性高く推定できるか？
• RQ3 遅延埋め込みを通じて、元の力学系と再構成された力学系のコープマン作用素の間の数学的関係は何か？
• RQ4 再構成空間と元の空間の間の合成作用素 C_φ がどのような条件下でユニタリとなり、スペクトル同等性を保証するか？

主な発見

• T が測度保存型である限り、元の系上のコープマン作用素 U_T と再構成空間上の U_~T はスペクトル的に同等である。
• 合成作用素 C_φ: g ↦ g∘φ はユニタリであり、これにより元の空間と再構成空間間の内積構造およびスペクトル的性質が保存される。
• ホームオモーレジズム φ と T の測度保存性のおかげで、コープマン作用素のユニタリ同等性が保証され、スペクトル同等性が成立する。
• この結果により、遅延埋め込みデータにEDMDを適用することで、元のコープマン作用素の固有値および固有関数を推定する手法の有効性が裏付けられる。
• 元のコープマン作用素の固有関数および固有分布は、C_φ の逆写像を用いて再構成可能であるが、実際の応用では φ および C_φ は通常未知である。