[論文レビュー] On the spectral gap of random quantum channels

Carlos E. González-Guillén, Marius Junge+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ハール分布に従う等長写像によって誘導されるランダムな量子チャネルのスペクトルギャップに対して、$k \geq 169$ の場合にきつい下界を確立し、それらが量子拡張子であることを証明する。結果として、無限大の並進不変性を持つ行列積状態（TI-MPS）の縮約密度行列は、典型的な条件下で最大エントロピー原理を満たし、フォン・ノイマンエントロピーが $l \log k$ に $O(D^{-1/5})$ の補正項を加えて近づくことが示される。

ABSTRACT

In this work, we prove a lower bound on the difference between the first and second singular values of quantum channels induced by random isometries, that is tight in the scaling of the number of Kraus operators. This allows us to give an upper bound on the difference between the first and second largest (in modulus) eigenvalues of random channels with same large input and output dimensions for finite number of Kraus operators $k\geq 169$. Moreover, we show that these random quantum channels are quantum expanders, answering a question posed by Hastings. As an application, we show that ground states of infinite 1D spin chains, which are well-approximated by matrix product states, fulfill a principle of maximum entropy.

研究の動機と目的

• ハール分布に従う等長写像によって誘導されるランダムな量子チャネルのスペクトルギャップに対して、きつい下界を確立すること、特に $k \geq 169$ の有限な $k$ に対して。
• このようなランダムな量子チャネルが量子拡張子であることを示し、ハスティングスの結果を等長写像に基づくモデルに一般化すること。
• 無限大の並進不変性を持つ行列積状態（TI-MPS）の縮約密度行列が、典型的な条件下で最大エントロピー原理を満たすことを示すこと。
• ランダム行列理論のツールを用いて、チャネルのダイナミクスが固定点に収束する速度を分析すること。
• 大きな結合次元の極限におけるTI-MPSの縮約密度行列の純度およびエントロピーに対する定量的境界を提供すること。

提案手法

• ウェインガルテン計算を用いてランダムな等長写像のモーメントを計算し、演算子ノルムの漸近的期待値を導出する。
• 量子チャネルに関連するスーパーオペレーターの特異値に対する下界および上界を、ランダム行列理論を活用して適用する。
• カップリングの議論を用いて、チャネル $\Phi$ の固定点を $\Phi^t(\mathrm{I}/D)$ で近似し、固定点 $\Lambda_\Phi$ の明示的依存を減らす。
• ユニタリ群上でのリプシッツ関数の濃縮現象を用いて、縮約密度行列の2番目のモーメントのフラクチュエーションを制御する。
• チャネル $\Phi$ のスペクトルギャップに依存して、$\Phi^t(\mathrm{I}/D)$ が固定点 $\Lambda_\Phi$ に収束する速度を束縛する。
• 固定点とのノルム差が $\|\Lambda_\Phi - \Phi^t(\mathrm{I}/D)\|_1 \leq \lambda_2^t(\Phi) \sqrt{D}$ を満たすことを確立し、ここで $\lambda_2(\Phi)$ はチャネル $\Phi$ の2番目に大きな特異値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハール分布に従う等長写像によって誘導されるランダムな量子チャネルのスペクトルギャップは何か？ また、Kraus作用素の数 $k$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 このようなランダムな量子チャネルは量子拡張子であるか？ 有限な $k$ に対しても成り立つか？
• RQ3 無限大のTI-MPSの縮約密度行列は最大エントロピー原理を満たすか？ また、最大エントロピーへの収束速度は何か？
• RQ4 結合次元 $D$ が大きい極限における縮約密度行列 $\rho_l$ の純度はどのように振る舞うか？
• RQ5 チャネルの固定点は、最大混合状態の $t$ ステップ進化によってよく近似できるか？ その誤差は何か？

主な発見

• $k \geq 169$ の場合、ハール分布に従う等長写像によって誘導されるランダムな量子チャネルのスペクトルギャップは、定数で下から抑えられ、それらが量子拡張子であることが確認される。
• 2番目に大きな特異値 $\lambda_2(\Phi)$ は、定数を除いて $\lambda_2(\Phi) \leq 1/\sqrt{k}$ を満たし、ハスティングスおよびピジエの既知の境界と一致する。
• 縮約密度行列の2番目のモーメントは、$D \to \infty$ の下で、$\mathrm{tr}(\rho_l^2) \leq 1/k^l + O(D^{-1/5})$ を満たす確率が非常に高い。
• $l \ll D^{1/5}$ の場合、演算子ノルムのずれは $\|\rho_l - \mathrm{I}/k^l\|_\infty \leq O(D^{-1/10})$ を満たし、最大混合状態への高い忠実度を示す。
• 密度行列 $\rho_l$ のフォン・ノイマンエントロピーは、$D$ に関して指数的に小さい確率を除き、$S(\rho_l) = l \log k - k^l O(D^{-1/5})$ に等しい。
• チャネルの固定点 $\Lambda_\Phi$ は大きなフォン・ノイマンエントロピーを持つため、量子拡張子の性質および最大エントロピー原理を支持する。