[論文レビュー] On the spectral radius and the energy of eccentricity matrix of a graph

Iswar Mahato, R. Gurusamy+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフの非対称性行列 ε(G) のスペクトル的性質を調査し、ε-スペクトル半径とε-エネルギーを導入する。星形グラフは ε(G) の正則性によって特徴付けられ、ε-スペクトル半径の境界が確立され、すべての n ≥ 5 に対して完全 k 分割グラフを用いて、非共スペクトルな ε-等固有値エネルギーを持つグラフを構成する。ここで、ε-エネルギーは、各部が少なくとも2つの頂点を持つ限り、部のサイズに依存せず、分割数にのみ依存することが示された。

ABSTRACT

The eccentricity matrix $\varepsilon(G)$ of a graph $G$ is obtained from the distance matrix by retaining the eccentricities (the largest distance) in each row and each column. In this paper, we give a characterization of the star graph, among the trees, in terms of invertibility of the associated eccentricity matrix. The largest eigenvalue of $\varepsilon(G)$ is called the $\varepsilon$-spectral radius, and the eccentricity energy (or the $\varepsilon$-energy) of $G$ is the sum of the absolute values of the eigenvalues of $\varepsilon(G)$. We establish some bounds for the $\varepsilon$-spectral radius and characterize the extreme graphs. Two graphs are said to be $\varepsilon$-equienergetic if they have the same $\varepsilon$-energy. For any $n \geq 5$, we construct a pair of $\varepsilon$-equienergetic graphs on $n$ vertices, which are not $\varepsilon$-cospectral.

研究の動機と目的

• 木の中で星形グラフをその非対称性行列の正則性によって特徴付けること。
• ε-ウィーナー指数とε-次数列を用いて、ε-スペクトル半径のタイトな境界を確立すること。
• 非共スペクトルな ε-等固有値エネルギーを持つグラフの研究を進め、スぺクトルグラフ理論における主要な未解決問題に取り組むこと。
• 完全 k 分割グラフを用いて、小さい次数を超えて ε-等固有値エネルギーを持つグラフの構成を一般化すること。

提案手法

• 各エントリに min{e(u), e(v)} に等しい距離を保持し、それ以外は0とするように、非対称性行列 ε(G) を定義する。
• 最大固有値（ε-スペクトル半径）の境界を求めるために、インタラーシング定理と均等分割技術を適用する。
• 頂点に基づく分割からの商行列を用い、ε-ウィーナー指数とε-次数の観点から、ε-スペクトル半径の下界を導出する。
• 既知の完全二部グラフおよび多部グラフのスペクトルを活用し、ε-エネルギーを明示的に計算する。
• 同じ k を持つが、分割のサイズが異なる完全 k 分割グラフを比較することで、ε-等固有値エネルギー対を構成する。
• 異なる分割構成でも等しい ε-エネルギーを示しながら、固有値が異なることから、非共スペクトル性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの木が非対称性行列を正則に持つのか。この性質は星形グラフをどのように特徴付けるのか。
• RQ2 ε-ウィーナー指数やε-次数列といったグラフ不変量を用いて、ε-スペクトル半径の最もタイトな下界と上界は何か。
• RQ3 非共スペクトルなグラフで、同じ ε-エネルギーを持つものは構成可能か。このような現象はどのグラフ族で生じるか。
• RQ4 完全 k 分割グラフにおいて、各部が少なくとも2つの頂点を持つ限り、ε-エネルギーは分割のサイズに依存せず、k にのみ依存するのか。

主な発見

• 星形グラフ K₁,n−1 は、非対称性行列が正則である唯一の木である。
• ε-スペクトル半径は、下界 ρ(ε(G)) ≥ maxᵢ { (Wₑ − ε(i)) + √[(Wₑ − ε(i))² + (n−1)ε²(i)] } / (n−1) を満たす。ここで Wₑ は ε-ウィーナー指数である。
• p, q ≥ 2 である完全二部グラフ Kₚ,ₙ₋ₚ に対して、ε-エネルギーは Eₑ(Kₚ,ₙ₋ₚ) = 4(n−2) であり、p に依存しない。
• 各 nᵢ ≥ 2 である完全 k 分割グラフ Kₙ₁,ₙ₂,…,ₙₖ に対して、ε-エネルギーは Eₑ = 4(n−k) であり、n と k のみに依存する。
• すべての n ≥ 6 に対して、非ε-共スペクトルな ε-等固有値エネルギーを持つグラフが存在する。たとえば、p ≠ q のとき Kₚ,ₙ₋ₚ と K_q,ₙ₋q がその例である。
• 完全 k 分割グラフの ε-エネルギーは、各部が少なくとも2つの頂点を持つ限り、分割のサイズの変化にかかわらず一定であり、k が一定であれば不変である。