[論文レビュー] On the spectral radius, energy and Estrada index of the Sombor matrix of graphs

Zhen Lin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Graph theory and applications被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、グラフのSombor行列を導入し、その固有値半径、エネルギー、Estrada指数について、タイトな下界と上界を導出する。これらの境界が達成される極値的グラフ（例えば完全二部グラフや星形グラフ）を同定し、次数に基づくトポロジカル指標およびスペクトルグラフ理論と関連づける。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected graph with vertex set $V(G)=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ and edge set $E(G)$. The Sombor matrix $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is defined so that its $(i,j)$-entry is equal to $\sqrt{d_i^2+d_j^2}$ if the vertices $v_i$ and $v_j$ are adjacent, and zero otherwise, where $d_i$ denotes the degree of vertex $v_i$ in $G$. In this paper, lower and upper bounds on the spectral radius, energy and Estrada index of the Sombor matrix of graphs are obtained, and the respective extremal graphs are characterized.

研究の動機と目的

• グラフのSombor行列を定義し、頂点次数と辺接続に基づく新しい行列を研究すること。
• Sombor固有値半径、エネルギー、Estrada指数について、タイトな下界と上界を確立すること。
• これらの境界を達成する極値的グラフ（特に二部グラフおよび完全グラフの文脈において）を同定すること。
• Somborに基づく不変量を導入することで、スペクトルグラフ理論を拡張し、化学的およびトポロジカルな関連性を持つこと。
• Sombor行列と古典的グラフ不変量（例えば第一Zagreb指標や忘れられたトポロジカル指標）との関係を調査すること。

提案手法

• 隣接する頂点間の(i,j)成分が√(dᵢ² + dⱼ²)、それ以外は0であるSombor行列𝒢(G)を定義する。
• 固有値のインタラーシングおよびマジョライゼーション不等式を含む行列スペクトル理論を適用し、境界を導出する。
• ラグランジュ乗数法と凸性の議論を用いて、制約下での固有値和の最適化を行う。
• 双対性と二部グラフ構造を活用し、双曲余弦恒等式を用いてEstrada指数の式を簡略化する。
• Sombor行列の累乗のトレースを用いて、Estrada指数を忘れられたトポロジカル指標F(G)に関連付ける。
• 極値的グラフ理論を用いて、等号が成立するグラフ（例：K₁,ₙ₋₁、Kₛ,ₜ）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのSombor固有値半径について、最もタイトな下界と上界は何か？
• RQ2 どのグラフがSomborエネルギーおよびEstrada指数を最大または最小にするか？
• RQ3 Sombor行列の固有値は、F(G)やZ₁(G)のような古典的トポロジカル指標とどのように関係するか？
• RQ4 Estrada指数の境界における等号が成立する条件は何か？
• RQ5 二部性、直径などの構造的性質は、極値的値を達成するグラフを特徴付けるか？

主な発見

• グラフGのSombor固有値半径は、√(Z₁/n) ≤ ρ₁(G) ≤ Δを満たし、左辺で等号が成り立つのはGが正則または半正則である場合に限る。
• 連結グラフにおいて、Somborエネルギーは2√(n−1)で下から抑えられ、星形グラフK₁,ₙ₋₁で達成される。
• 連結二部グラフのSomborEstrada指数は、EE(G) ≤ n−2 + 2cosh(√F)を満たし、等号が成り立つのはG ≅ Kₛ,ₜのときである。
• 完全二部グラフでは、Estrada指数はK₁,ₙ₋₁で最小、K₍ₙ/₂₎,₍ₙ/₂₎で最大となり、明示的な閉形式式が得られる。
• 二部グラフのEstrada指数は、n₀ + 2cosh(ρ₁(G)) + (r−2)cosh((ℰ(G)−2ρ₁(G))/(r−2))で下から抑えられる。ここでrはSombor行列のランクである。
• Estrada指数の境界における等号は、正の固有値の絶対値がすべて等しいときに限り成立し、強いスペクトル的対称性を示している。