[論文レビュー] On the spectral sequence associated with the Baum-Connes Conjecture for $\mathbb Z^n$

Selçuk Barlak|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

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ひとこと要約

本稿は、C*-代数上の$\mathbb{Z}^n$作用におけるバウム＝コンヌ予想に関連するスペクトル系列について検討し、特にその第二ページの微分に注目する。$\mathbb{Z}^2$作用の場合、ボット類を用いた第二ページ微分の明示的公式を提示し、外的かつ点wise内的な作用の両方の具体例を構成する。これらの例にはキルヒベルク代数や離散ヘイゼンベルク群$H_3$の群C*-代数上の作用が含まれ、交差積の$K$-理論の完全な計算を伴う。

ABSTRACT

We examine a spectral sequence that is naturally associated with the Baum-Connes Conjecture with coefficients for $\mathbb Z^n$ and also constitutes an instance of Kasparov's construction in his work on equivariant $KK$-theory. For $k\leq n$, we give a partial description of the $k$-th page differential of this spectral sequence, which takes into account the natural $\mathbb Z^k$-subactions. In the special case that the action is trivial in $K$-theory, the associated second page differential is given by a formula involving the second page differentials of the canonical $\mathbb Z^2$-subactions. For $n=2$, we give a concrete realisation of the second page differential in terms of Bott elements. We prove the existence of $\mathbb Z^2$-actions, whose associated second page differentials are non-trivial. One class of examples is given by certain outer $\mathbb Z^2$-actions on Kirchberg algebras, which act trivially on $KK$-theory. This relies on a classification result by Izumi and Matui. A second class of examples consists of certain pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions. One instance is given as a natural action on the group $\mathrm{C}^*$-algebra of the discrete Heisenberg group $H_3$. We also compute the $K$-theory of the corresponding crossed product. Moreover, a general and concrete construction yields various examples of pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions on amalgamated free product $\mathrm{C}^*$-algebras with non-trivial second page differentials. Among these, there are actions which are universal, in a suitable sense, for pointwise inner $\mathbb Z^2$-actions with non-trivial second page differentials. We also compute the $K$-theory of the crossed products associated with these universal $\mathrm{C}^*$-dynamical systems.

研究の動機と目的

• C*-代数上の$\mathbb{Z}^n$作用に対する係数付きバウム＝コンヌ予想から生じるスペクトル系列の構造を理解すること。
• 特に$k=2$の場合に、$\mathbb{Z}^k$部分作用を用いて$k$-ページ微分を記述すること。
• $\mathbb{Z}^2$作用の具体例を構成し、第二ページ微分が非自明となるもの（外的および点wise内的作用を含む）を提示すること。
• これらの例における関連する交差積の$K$-理論を計算すること、特に普遍的な点wise内的作用について。
• $\mathbb{Z}^2$の場合における第二ページ微分とボット類との関係を確立し、明示的な実現を与えること。

提案手法

• カスパロフの等不変$KK$理論フレームワークを用いて、写像トーラス$\mathcal{M}_\alpha(A)$の有限コフィルトレーションからスペクトル系列を構成する。
• メイシーの完全対技術を適用し、交差積$A \rtimes_r \mathbb{Z}^n$の$K$-理論へ収束するスペクトル系列を導出する。
• 境界写像の持ち上げを解析するため、ピンスナー＝ヴォイクレスクの系列を用いる。これは微分の計算に不可欠である。
• $KK$-自明な作用の場合、第二ページ微分$d_2^{p,q}$の公式を、標準的な$\mathbb{Z}^2$部分作用の第二ページ微分の関数として導出する。
• 離散ヘイゼンベルク群$H_3$の群C*-代数上およびアマルガメートド自由積C*-代数上の自然な作用を用いて具体例を構成する。
• イズミとマツイの分類結果を用いて、$KK$作用が自明だが第二ページ微分が非自明なキルヒベルク代数上の外的$\mathbb{Z}^2$作用の存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}^n$作用におけるバウム＝コンヌスペクトル系列の$k$-ページ微分の構造は何か。特に$\mathbb{Z}^k$部分作用を用いてどのように記述できるか。
• RQ2 $\mathbb{Z}^2$作用における第二ページ微分$d_2$は、ボット類を用いてどのように明示的に実現できるか。
• RQ3 $KK$作用が自明だが第二ページ微分が非自明な$\mathbb{Z}^2$作用は存在するか。
• RQ4 アマルガメートド自由積C*-代数上の普遍的な点wise内的$\mathbb{Z}^2$作用における交差積の$K$-理論は何か。
• RQ5 非自明な第二ページ微分は、外的および点wise内的両方の$\mathbb{Z}^2$作用で実現可能か。また、ボット周期性とはどのように関係するか。

主な発見

• $KK$理論で自明な$\mathbb{Z}^2$作用に対して、第二ページ微分$d_2$は、標準的な$\mathbb{Z}^2$部分作用の第二ページ微分を用いた公式で与えられる。
• $\mathbb{Z}^2$作用の場合、ボット類を用いた第二ページ微分の明示的実現が提供された。
• イズミとマツイの分類結果により保証されるように、$KK$理論で自明だが第二ページ微分が非自明な特定の外的$\mathbb{Z}^2$作用が、キルヒベルク代数上に存在する。
• 離散ヘイゼンベルク群$H_3$の群C*-代数上に自然に定義される$\mathbb{Z}^2$作用は、第二ページ微分が非自明であることが示された。
• 一般の構成により、アマルガメートド自由積C*-代数上の点wise内的$\mathbb{Z}^2$作用を構成でき、そのうちのいくつかは適切な意味で普遍的である。
• これらの普遍的な点wise内的$\mathbb{Z}^2$作用に対応する交差積の$K$-理論が明示的に計算された。