[論文レビュー] On the spectral theory of one functional-difference operator from conformal field theory

L. D. Faddeev, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ q = e^{ olpi i \tau} $、$ \tau > 0 $ を満たす $ U $ と $ V $ が $ UV = q^2 VU $ を満たす Weyl 演算子である関数差分作用素 $ H = U + U^{-1} + V $ のスペクトル理論を確立する。モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数を用いて、明示的なリゾルベント公式を導出し、固有関数展開定理を証明し、散乱理論を定式化する。これは、Kontorovich-Lebedev 変換を $ q $-deformed な設定に一般化するものである。

ABSTRACT

In the paper we consider a functional-difference operator $H=U+U^{-1}+V$, where $U$ and $V$ are self-adjoint Weyl operators satisfying $UV=q^{2}VU$ with $q=e^{πiτ}$ and $τ>0$. The operator $H$ has applications in the conformal field theory and in the representation theory of quantum groups. Using modular quantum dilogarithm - a $q$-deformation of the Euler's dilogarithm - we define the scattering solution and the Jost solutions, derive an explicit formula for the resolvent of the self-adjoint operator $H$ in the Hilbert space $L^{2}(\mathbb{R})$, and prove the eigenfunction expansion theorem. The latter is a $q$-deformation of the well-known Kontorovich-Lebedev transform in the theory of special functions. We also present a formulation of the scattering theory for the operator $H$.

研究の動機と目的

• 関数差分作用素 $ H = U + U^{-1} + V $ が $ L^2(\mathbb{R}) $ 上の非有界自己共役作用素として完全なスペクトル理論を構築することにより、文献における空白を埋める。
• 作用素 $ H $ に関連する固有値方程式に対して散乱および Jost 解を定義し、複素帯内で正則性と漸近的挙動を保証すること。
• モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数を用いて、$ H $ のリゾルベントの明示的公式を導出すること。
• 分布的意味での完全性と直交性を確立するため、$ H $ に対する固有関数展開定理を証明すること。
• 散乱理論を定式化し、モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数から導かれる $ S $-行列を用いて散乱作用素を特定すること。

提案手法

• 著者らは、$ q = e^{\pi i \tau} $、$ \tau > 0 $ を満たす $ U $ と $ V $ を $ L^2(\mathbb{R}) $ 上に Weyl 演算子として定義し、$ UV = q^2 VU $ を満たすようにし、$ H = U + U^{-1} + V $ を非有界自己共役作用素として構成する。
• 彼らは、Euler のディログラミット関数の $ q $-変種であるモジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数 $ \gamma(z) $ を用いて、固有値方程式 $ H\psi = \lambda \psi $ の散乱および Jost 解を定義する。
• リゾルベント $ R(\lambda) $ は、モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数およびフーリエ変換から導かれるカーネルを持つ積分作用素として明示的に構成される。
• カソラーティの行列式およびコーシー積分の技法を用いて、固有関数展開が確立され、分布的意味での完全性と直交性関係が証明される。
• Jost 解 $ \varphi^{(\pm)}(x,k) $ を定義することで散乱理論が定式化され、$ x \to -\infty $ のときの漸近的挙動 $ e^{2\pi i k x} + S(k) e^{-2\pi i k x} $ を満たす。ここで $ S(k) $ は散乱行列である。
• ユニタリ同型 $ \mathscr{U}^{(+)} $ は $ L^2(\mathbb{R}) $ を $ L^2([0,\infty)) $ に等長に写像し、変換された作用素は $ \lambda $ による乗法作用素として作用する。これは、Kontorovich-Lebedev 変換を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンformal field theory や量子群に関連する役割を果たす関数差分作用素 $ H = U + U^{-1} + V $ に対して、$ L^2(\mathbb{R}) $ 上の自己共役作用素として、そのスペクトル理論をどのように厳密に構築できるか。
• RQ2 リゾルベント $ H $ の明示的形は何か。また、モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数を用いてどのように導出できるか。
• RQ3 散乱および Jost 解はどのように漸近的挙動を示し、固有関数展開の構成において果たす役割は何か。
• RQ4 $ H $ に対する固有関数展開は、特殊関数論における古典的 Kontorovich-Lebedev 変換をどの程度一般化するか。
• RQ5 散乱作用素 $ S(k) $ はどのようにモジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数から導出され、スペクトル分解において果たす役割は何か。

主な発見

• 自己共役作用素 $ H $ のリゾルベントは、モジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数およびフーリエ変換から導かれるカーネルを持つ積分作用素として明示的に与えられる。
• 固有関数展開定理が証明され、完全性と直交性関係は分布的意味で $ \int_0^\infty \varphi(x,k)\varphi(y,k)\rho(k)dk = \delta(x-y) $ および $ \int_{-\infty}^\infty \varphi(x,k)\varphi(x,l)dx = \frac{1}{\rho(k)}\delta(k-l) $ として表される。
• 散乱行列 $ S(k) $ は $ S(k) = \frac{M(-k)}{M(k)} = e^{-4\pi i \omega'' k} \frac{\gamma(-2k - \omega'')}{\gamma(2k - \omega'')} $ として導出され、ここで $ \gamma $ はモジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数である。
• ユニタリ変換 $ \mathscr{U}^{(+)} $ は $ L^2(\mathbb{R}) $ を $ L^2([0,\infty)) $ に等長に写像し、変換された作用素は $ \lambda $ による乗法作用素として作用する。これは、Kontorovich-Lebedev 変換を一般化する。
• $ H $ に対する固有関数展開は、Kontorovich-Lebedev 変換の $ q $-deformation であり、スペクトル測度 $ \rho(k) $ はモジュラーハイパージェオメトリック・ディログラミット関数と関連している。
• 散乱理論は $ S $-行列を用いて定式化され、非定常的アプローチは作用素 $ \mathscr{U}^{(\pm)} $ を用いて概説されている。これらは解をスペクトル空間に写像する。