[論文レビュー] On the spectral Theory of Operator Measures

M. M. Malamud, Семен Маркович Маламуд|ArXiv.org|Jun 21, 2002

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿はヒルベルト空間上の非直交作用素測度に関するスペクトル理論を展開し、直接積分分解を用いて $ L_2(\Sigma, H) $ 空間の内的特徴付けを提供するとともに、部分空間およびベクトル鎖を通じてヘリンジャー固有型を確立する。主な貢献は、ヘリンジャー鎖の構成と、弱く有界変動を示す作用素測度に対するジョルダン分解の類似の確立であり、古典的結果を非直交設定に拡張する。

ABSTRACT

In the first section we provide a solution to the M. G. Krein problem about an inner description of the space $L_2(Σ,H).$ In the second section we introduce the multiplicity function for an operator measure. Making use of the description of the space $L_2(Σ,H)$ we establish the correctness of the definition and give a criterion for a spectral measure to be a dilation of a given operator measure. In the third section we prove that the set of principal vectors of an operator measure is an everywhere dense $G_δ.$ This implies, in particular, that there are a lot of principal vectors in any cyclic subspace of a selfadjoint operator. In the 4th section we introduce Hellinger spectral types for an arbitrary operator measure and prove the existence of subspaces, realizing them. In the 5-th section we give an answer to an old question of Paulsen and provide an analytic description of completely bounded operator measures. The results of this section belong to the second author.

研究の動機と目的

• M. G. クラインが提起した問題に応えるために、ヒルベルト空間 $ L_2(\Sigma, H) $ の内的記述を提供すること。
• 直交測度から一般化された非直交作用素測度のヘリンジャー固有型理論を構築すること。
• 特定のヘリンジャー固有型を実現する部分空間の存在を確立すること、特に最大型のベクトルを含む。
• 弱く有界変動を示す作用素測度に対してジョルダン定理の類似を証明し、正の測度の差として表現可能であることを特徴づけること。
• 有限次元の場合の簡略化された証明を含め、非直交測度へのベレチェンスキー＝ゲルファンド＝コスチュチェンコ（BGK）定理の拡張を提供すること。

提案手法

• BGK定理を用いて、核が自明な $ T ∈ \mathfrak{S}_2(H) $ に対して、作用素測度 $ \Sigma_T(\Delta) = T^*\Sigma(\Delta)T $ が密度 $ \Psi(t) = d\Sigma_T/d\rho \in \mathfrak{S}_1(H) $ を持ち、$ \rho $-ほとんど everywhere に属することを示す。
• 半ノルム $ \|h\|_{\widetilde{\mathfrak{H}}_t} = \|\Psi(t)^{1/2}T^{-1}h\| $ に関して $ \mathcal{D}(T^{-1}) $ の完備化としてヒルベルト空間 $ \widetilde{\mathfrak{H}}_t $ を定義し、$ \mathfrak{H}_t $ をその商空間とする。
• $ L_2(\Sigma, H) $ が直接積分 $ \int_{\mathbb{R}}^\oplus \mathfrak{H}_t \, d\rho(t) $ に等長同型であることを証明し、ノルムの恒等式 $ \|f\|^2_{L_2} = \int_\mathbb{R} \|\Psi(t)^{1/2}T^{-1}f(t)\|^2 d\rho(t) $ を得る。
• 多重度関数 $ N_\Sigma(t) = \sup_n \text{rank}(\Psi_n(t)) $ を定義し、ここで $ \Psi_n(t) $ はラドン＝ニコディム微分の $ n \times n $ 行列である。
• ヘリンジャー部分空間 $ H_k $ を、$ k $-番目の固有型が実現される入れ子になった部分空間として定義し、$ \det \Psi_k(t) $ の非消滅性によって特徴づける。
• 弱く有界変動を示す作用素測度に対して、$ \Sigma = \Sigma_1 - \Sigma_2 $ となることと、すべての $ T \in \mathfrak{S}_2(H) $ に対して $ \sup_\pi \sum_i \|T^*\Sigma(\Delta_i)T\|_1 < \infty $ であることが同値であることを示し、ジョルダン型分解を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル値関数表現に依存しない、空間 $ L_2(\Sigma, H) $ の内的特徴付けはどのように可能か？
• RQ2 非直交作用素測度のヘリンジャー固有型の構造は何か？ また、部分空間を用いてどのように実現できるか？
• RQ3 弱く有界変動を示す作用素測度が、二つの正の作用素測度の差として分解可能となる条件は何か？
• RQ4 自己共役作用素の固有型は、循環部分空間および関連する作用素測度の構造とどのように関係するか？
• RQ5 BGK定理は、$ L_2(\Sigma, H) $ の直接積分表現を構成する上で果たす役割は何か？ また、非直交測度への一般化はどのように行われるか？

主な発見

• $ L_2(\Sigma, H) $ は直接積分 $ \int_{\mathbb{R}}^\oplus \mathfrak{H}_t \, d\rho(t) $ に等長同型であり、ノルム恒等式 $ \|f\|^2_{L_2} = \int_\mathbb{R} \|\Psi(t)^{1/2}T^{-1}f(t)\|^2 d\rho(t) $ を満たすため、空間の内的特徴付けが得られる。
• 循環部分空間 $ L $ 内の最大型のベクトルの集合は、第二カテゴリの $ G_\delta $-稠密集合であり、最大型のベクトルの一般性が示される。
• 任意の $ h \in \Omega_\Sigma $ に対して、$ \dim H_k = k $ を満たすヘリンジャー鎖 $ \{\lambda h\} = H_1 \subset H_2 \subset \cdots \subset H_m $ が存在し、$ \Gamma_k(P_L\Sigma|_L) = \Gamma_k(\Sigma) $ を満たす。
• 鎖 $ H_1 \subset \cdots \subset H_m $ がヘリンジャー鎖であるための必要十分条件は、$ \Gamma_k(\Sigma) = \{ t : \det \Psi_k(t) \neq 0 \} \mod \Sigma $ であることであり、固有型が密度行列の小行列式の非消滅性と結びつく。
• 多重度関数 $ N_\Sigma(t) $ は $ H $ 内の正規直交基底の選び方に依存せず、$ m(\Sigma) = \esssup N_\Sigma(t) \mod \rho $ である。
• 弱く有界変動を示す作用素測度-測度 $ \Sigma $ が $ \Sigma = \Sigma_1 - \Sigma_2 $ かつ $ \Sigma_i \geq 0 $ と分解可能であるための必要十分条件は、すべての $ T \in \mathfrak{S}_2(H) $ に対して $ \sup_\pi \sum_i \|T^*\Sigma(\Delta_i)T\|_1 < \infty $ が成り立つことであり、古典的ジョルダン分解を作用素値測度へ一般化する。