[論文レビュー] On the spectral theory of operators on trees

Matthias Keller|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非正則で対称的な木構造上での最近傍作用素が、有限個の区間からなる純粋な絶対連続スペクトルを有することを確立する。グリーン関数の再帰関係と双曲的半距離の収縮性を用いて、正則および非正則な木構造において、小規模な確率的ポテンシャルに対するこのスペクトルの安定性を証明する。一方、決定的で径方向のポテンシャルは、木が非正則である場合に限り、スペクトルを保存する。

ABSTRACT

We study a class of rooted trees with a substitution type structure. These trees are not necessarily regular, but exhibit a lot of symmetries. We consider nearest neighbor operators which reflect the symmetries of the trees. The spectrum of such operators is proven to be purely absolutely continuous and to consist of finitely many intervals. We further investigate stability of the absolutely continuous spectrum under perturbations by sufficiently small potentials. On the one hand, we look at a class of deterministic potentials which include radial symmetric ones. The absolutely continuous spectrum is stable under sufficiently small perturbations of this type if and only if the tree is not regular. On the other hand, we study random potentials. In this case, we prove stability of absolutely continuous spectrum for both regular and non regular trees provided the potentials are sufficiently small.

研究の動機と目的

• 根付き木における置換型対称性を有する最近傍作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• 絶対連続スペクトルが小規模な摂動に対して安定する条件を特定すること。
• 決定的径方向ポテンシャルと確率的ポテンシャルがスペクトル安定性に与える影響を区別すること。
• 再帰写像と計量収縮技術を用いて、正則木を超えたスペクトル解析を拡張すること。
• ガルトン＝ワトソン木や透過木などの確率的木モデルへのこの手法の適用可能性を調査すること。

提案手法

• 木構造と作用素の対称性に基づいて導出されたグリーン関数の再帰関係を用いる。
• グリーン関数の相対的引数における再帰写像の収縮性を分析するために、双曲的半距離を導入する。
• 再帰写像の分解を用いて、距離空間内の球上で一様収縮が成立することを証明し、固定点の一意性を保証する。
• 2段階の展開公式と平均収縮係数を用いて、確率的摂動下でのグリーン関数の平均値を評価する。
• ベクトル不等式と可視性に関する議論を用いて、確率的ポテンシャルモデルにおけるグリーン関数の成長を制御する。
• ファトウの補題とフィッブィの定理を活用し、スペクトル測度の弱収束を用いて、特異スペクトルの不在をほぼ確実に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則な木構造上でのラベル不変作用素の絶対連続スペクトルは、小規模な決定的径方向ポテンシャルに対しても安定するか？
• RQ2 正則および非正則な木構造において、置換型対称性を有する場合、小規模な確率的ポテンシャルに対しても絶対連続スペクトルが維持されるか？
• RQ3 死んでいない枝のないガルトン＝ワトソン木のスペクトル的性質は、小規模な確率的摂動下で、置換生成木のそれとどの程度類似しているか？
• RQ4 置換生成木上での第一到達透過モデルは、大きな不規則性に対して、純粋な特異スペクトルまたは純粋な点スペクトルを示すか？
• RQ5 エッジ削除確率が1に近くない場合、透過モデルにおける木構造上での連続スペクトルがほぼ確実に除外されるか？

主な発見

• 置換型構造を有する木上のラベル不変作用素のスペクトルは、純粋に絶対連続的であり、有限個の区間からなる。
• 決定的径方向ポテンシャルに対しては、絶対連続スペクトルが安定するための必要十分条件は、木が正則でないことである。
• 十分に小さい確率的ポテンシャルの下では、正則および非正則な木構造の両方において、絶対連続スペクトルが安定する。
• 本手法は非対角的摂動にも適用可能であり、対角的ポテンシャルを超えた広範な適用可能性を示している。
• 均一な境界 $ c(\theta) \to 0 $ が $ \theta \to 0 $ のとき成り立つならば、確率的摂動下でもグリーン関数の $ L^p $-ノルムが一様に有界であることが保証される。
• 虚部の下限の極限とスペクトル測度の弱収束を用いた基準により、特異スペクトルの不在がほぼ確実に示された。