[論文レビュー] On the speed of the one-dimensional excited random walk in the transient regime

Thomas Mountford, Leandro P. R. Pimentel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2006

Diffusion and Search Dynamics参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非ランダムで i.i.d. なクッキー環境を有する1次元の励起ランダムウォークが非再帰的領域において、どの程度の速度を示すかを調査する。カップリング技法と大規模な拡散スケーリングを用いて、十分に大きなクッキー数 M あるいは十分に強いバイアス p の場合、ウォークは厳密に正の速度を示すことを証明する。一方、M(2p−1)∈(1,2) の場合、非再帰的であるにもかかわらず速度はゼロである。これは、1サイトあたり3個以上のクッキーがある場合の主要な未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We study a class of nearest-neighbor discrete time integer random walks introduced by Zerner, the so called multi-excited random walks. The jump probabilities for such random walker have a drift to the right whose intensity depends on a random or non-random environment that also evolves in time according to the last visited site. A complete description of the recurrence and transience phases was given by Zerner under fairly general assumptions for the environment. We contribute in this paper with some results that allows us to point out if the random walker speed is strictly positive or not in the transient case for a class of non-random environments.

研究の動機と目的

• 1次元の励起ランダムウォークが非再帰的領域において、どのような条件下で厳密に正の速度を示すかを特定すること。
• 1サイトあたり3個以上のクッキーがある場合に、ウォークが正の速度を示すかどうかという未解決問題を解消すること。
• バイアス p とクッキー数 M を用いて、ゼロ速度と正の速度の間の相転移を特徴づけること。
• 非再帰的であることが既知である条件下で、速度が厳密に正である条件を確立すること。

提案手法

• 時間および空間のスケーリングを用いて、1サイトあたり M 個のクッキーとバイアス p > 1/2 を持つ Z 上の励起ランダムウォーク（ERW）を分析する。
• 長さ L/ε の区間を跨ぐ進行度を追跡するための粗視化過程 Zₙ を定義するために、停止時刻 τⁿᵉ の列を導入する。
• M₀ 個のクッキーとバイアス p = 1/2 + c₁κ を持つ比較過程 X を構築し、スケーリングされたウォーク Xᵉ とカップリングする。
• カップリングの議論を用いて、比較過程が正の速度を示せば、適切な条件下で元の ERW も正の速度を示すことを示す。
• 大偏差推定とモーメントバウンドを用いて、有限区間内での訪問回数とドリフトの蓄積を制御する。
• フィルトレーション (Fₙ) と条件付き確率を用いて、連続する区間間の遷移ダイナミクスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M と p がどのような条件下で、1次元の励起ランダムウォークが非再帰的領域において厳密に正の速度を示すか。
• RQ2 M(2p−1)∈(1,2) の場合、ウォークが非再帰的であるにもかかわらず速度はゼロであるか。
• RQ3 M≥3 かつ M(2p−1)>2 の場合、文献における未解決問題にもかかわらず、速度が正であることを証明できるか。
• RQ4 M≥3 かつ M(2p−1)∈(1,2) の場合、速度は常にゼロであり、そのように予想されているか。
• RQ5 M₀ 個のクッキーとバイアス p=1/2+c₁κ を持つ比較過程を用いて、元のウォークの正の速度を推論できるか。

主な発見

• 任意の p∈(1/2,1) に対して、M₀(p) が存在し、すべての M>M₀ に対して ERW は厳密に正の速度を示す。
• M(2p−1)∈(1,2) の場合、ERW は非再帰的だが速度はゼロであり、臨界領域における予想を確認する。
• C₀>1 および ε₀<1/2 なる定数が存在し、p≤1/2+ε₀ かつ M(2p−1)≥C₀ のとき、ERW は厳密に正の速度を示す。
• 任意の固定された p>1/2 に対して、M が十分に大きければ、p が 1/2 に近くても、速度は厳密に正である。
• スケーリングされたウォーク Xᵉ が、既知の正の速度を示す比較ウォークとカップリングされることにより、Xᵉ が正の速度を示すことが証明される。
• 結果として、速度は正であるだけでなく、提示された条件下でゼロから離れていることが示され、これは球形運動を示す。