[論文レビュー] On the spreading of quantum walks starting from local and delocalized states

Alexandre C. Orthey, Edgard P. M. Amorim|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的、ガウス型、一様な初期位置状態から出発する1次元離散時間量子ウォークの長時間分散の閉形式表現を、バランスの取れた量子コインを用いて解析的に導出する。局所的初期状態では平均分散が量子コインに依存しないことが示され、ガウス型および一様な状態では、特にθ+φに依存するコインの位相パラメータと初期分散に強く依存する。フーリエウォーク（θ+φ=π）では非分散的挙動が観察され、初期分散が大きい場合に顕著である。

ABSTRACT

We investigate the ballistic spreading behavior of the one-dimensional discrete time quantum walks whose time evolution is driven by any balanced quantum coin. We obtain closed-form expressions for the long-time variance of position of quantum walks starting from any initial qubit (spin-$1/2$ particle) and position states following a delta-like (local), Gaussian and uniform probability distributions. By averaging over all spin states, we find out that the average variance of a quantum walk starting from a local state is independent of the quantum coin, while from Gaussian and uniform states it depends on the sum of relative phases between spin states given by the quantum coin, being non-dispersive for a Fourier walk and large initial dispersion. We also perform numerical simulations of the average probability distribution and variance along the time to compare them with our analytical results.

研究の動機と目的

• 初期状態の局所的でない性質が量子ウォークの拡散ダイナミクスに与える影響を理解すること。
• さまざまな初期状態（局所的、ガウス型、一様）からの長時間位置分散の閉形式表現を導出すること。
• 拡散が量子コインパラメータ（θ, φ）および初期状態の分散にどのように依存するかを分析すること。
• 解析的結果と確率分布および分散の時間発展に関する数値シミュレーションを比較すること。
• 特にフーリエウォークにおいて非分散的挙動を示す条件を特定すること。

提案手法

• ユニタリ時間発展演算子（量子コインと条件付きシフトの組み合わせ）を用いたブルン型の量子ウォークの形式的枠組み。
• デルタ関数、ガウス型、一様な確率分布を持つ初期状態に対する運動量空間における長時間位置分散の解析的導出。
• 任意の初期キュービット状態を角度αとβでパラメータ化するためのブロッホ球表現の使用。
• 特定のキュービット準備に依存しない一般特性を抽出するために初期スピン状態の平均化を実施。
• 解析的分散式の妥当性を検証するため、1000ステップにわたる量子ウォークの時間発展の数値シミュレーション。
• シミュレートされた分散データをCt²にフィッティングし、異なる初期状態およびコインパラメータにおける分散係数Cを抽出・比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態の位置の非局在化（局所的 vs. ガウス型 vs. 一様）が、量子ウォークの長時間分散にどのように影響するか？
• RQ2 異なる初期状態において、⟨σ²⟩ = Ct²における拡散係数Cが量子コインの位相パラメータθとφにどのように依存するか？
• RQ3 初期分散が大きいガウス型初期状態（σ₀ ≫ 1）において、なぜフーリエコイン（θ+φ=π）では分散がゼロに近づくのか？
• RQ4 シミュレーションで観察されたように、局所的初期状態からの量子ウォークの平均分散は量子コインに依存しないのか？
• RQ5 任意の初期キュービット状態および3種類の初期位置分布に対して、分散の解析的表現を導出できるか？

主な発見

• 局所的初期状態からの量子ウォークの平均分散は、量子コインに依存せず、すべてのバランスの取れたコインで一定のままである。
• ガウス型初期状態では、長時間の拡散係数Cは相対位相の和（θ+φ）と初期分散σ₀に依存し、σ₀ ≫ 1かつθ+φ = πのときC ≈ 0となる。
• フーリエウォーク（θ+φ = π）は、初期分散が大きい場合に非分散的挙動を示すことが、解析的式および数値シミュレーションの両方で確認された。
• 平均確率分布および分散の数値シミュレーションは、すべての初期状態タイプにおいて解析的予測と極めて良好に一致した。
• σ₀ = 10のガウス状態では、θ+φ = πのとき分散係数Cは非常にゼロに近く、最小の拡散を示すことが確認され、解析モデルと整合的であった。
• 一様な初期状態では、拡散係数Cもθ+φに依存し、特定のコインパラメータにおいてのみ非ゼロとなり、ガウス状態とは明確に異なる依存パターンを示した。