[論文レビュー] On the stability of redundancy models

Elene Anton, Urtzi Ayesta+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、指数分布に従うサービス時間を持つ冗長性-dマルチサーバーシステムの安定性を調査し、スケジューリング方針（FCFS、PS、ROS）とコピーピアリング（i.i.d. 対 同様のコピーデータ）が安定領域に与える影響に焦点を当てる。i.i.d. コピーではすべてのスケジューリング方針において安定性が保たれるが、同様のコピーデータでは安定性が著しく変化する：ROSではρ < 1が維持されるが、FCFSではρ < ℓ̄/Kにまで低下し、PSではρ < 1/dに著しく制限される。これは、特定の仮定下では冗長性が性能を低下させ得ることを示している。

ABSTRACT

We investigate the stability condition of redundancy-$d$ multi-server systems. Each server has its own queue and implements popular scheduling disciplines such as First-Come-First-Serve (FCFS), Processor Sharing (PS), and Random Order of Service (ROS). New jobs arrive according to a Poisson process and copies of each job are sent to $d$ servers chosen uniformly at random. The service times of jobs are assumed to be exponentially distributed. A job departs as soon as one of its copies finishes service. Under the assumption that all $d$ copies are i.i.d., we show that for PS and ROS (for FCFS it is already known) sending redundant copies does not reduce the stability region. Under the assumption that the $d$ copies are identical, we show that (i) ROS does not reduce the stability region, (ii) FCFS reduces the stability region, which can be characterized through an associated saturated system, and (iii) PS severely reduces the stability region, which coincides with the system where all copies have to be \emph{fully} served. The proofs are based on careful characterizations of scaling limits of the underlying stochastic process. Through simulations we obtain interesting insights on the system's performance for non-exponential service time distributions and heterogeneous server speeds.

研究の動機と目的

• モデリング仮定（特にコピーピアリングとスケジューリング方針）が冗長性-dシステムの安定性に与える影響を理解すること。
• 異なるサービスポリシー下で冗長性が安定領域を改善するか、悪化させるかを特定すること。
• コピーデータが同様である場合の安定条件、特にFCFS、PS、ROS方針下での特徴を特定すること。
• 非指数分布サービス時間および非均一サーバー速度の影響を、シミュレーションを通じて検討すること。

提案手法

• K個のキューを持つマルチサーバーシステムを分析。到着はレートλのポアソン過程、d個の冗長コピーが一様にランダムにd台のサーバーに送信される。
• サービス時間はレートμの指数分布に従い、ジョブ完了は最初にサービスを終了したコピーによって定義される。
• 基礎となる確率過程のスケーリング極限を用いて、i.i.d. コピーおよび同様のコピーデータの下での安定条件を導出する。
• フロイドおよび拡散極限を適用し、異なるスケジューリング方針下での安定領域を特徴付ける。
• 関連する飽和系を用いたFCFSにおける同様のコピーデータの安定条件を導出。その結果、ρ < ℓ̄/Kが得られる。
• 非均一サーバー速度および非指数分布サービス時間の下での性能を、シミュレーションを用いて検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSおよびROSスケジューリング下で、コピーデータがi.i.d. の場合、冗長性は安定領域を縮小するか？
• RQ2 FCFS、PS、ROS下で、コピーデータが同様である場合、安定条件はi.i.d. と比べてどのように変化するか？
• RQ3 コピーデータが同様である場合、スケジューリング方針が安定領域に与える影響は何か？
• RQ4 サーバー速度が非均一な場合、d > 1を選択することで安定領域を改善できるか？
• RQ5 非指数分布サービス時間分布は、同様のコピーデータ下でシステム安定性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• i.i.d. コピーでは、PSまたはROSスケジューリング下でも冗長性は安定領域を縮小しない。システムはρ < 1の下で安定を保つ。
• 同様のコピーデータでは、ROSは安定領域を維持（ρ < 1）するが、PSでは安定領域がρ < 1/dに著しく制限される。
• 同様のコピーデータ下のFCFSでは、安定領域はρ < ℓ̄/Kであり、ℓ̄は関連する飽和系におけるサービス中のジョブの平均数を表す。
• シミュレーションにより、非均一サーバー速度下でd = Kはd = 1よりも安定性を向上させることが示された。特にν_max < Kν_minの場合顕著である。
• 安定条件はスケジューリング方針に強く依存する：PSおよびFCFSでは同様のコピーデータ下で性能が劣化するが、ROSでは劣化しない。
• サーバー速度の非均一性は、d = Kの場合、均一系における直感とは逆に安定性を向上させる要因となる。