[論文レビュー] On the stability of Scott-Zhang type operators and application to multilevel preconditioning in fractional diffusion

Markus Faustmann, Jens Markus Melenk+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 54被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、新鮮頂点二等分によって生成される適応的メッシュ上で、スコット＝ジャン セット型作用素のベソフ空間における端点安定性を確立し、多層分解を可能にした。分数ラプラシアンに対する局所的多層対角条件数付きプリコンディショナを提案し、メッシュの局所的細分化に対しても一様に有界な条件数を達成し、反復解法の最適収束性を保証した。

ABSTRACT

We provide an endpoint stability result for Scott-Zhang type operators in Besov spaces. For globally continuous piecewise polynomials these are bounded from $H^{3/2}$ into $B^{3/2}_{2,\infty}$; for elementwise polynomials these are bounded from $H^{1/2}$ into $B^{1/2}_{2,\infty}$. As an application, we obtain a multilevel decomposition based on Scott-Zhang operators on a hierarchy of meshes generated by newest vertex bisection with equivalent norms up to (but excluding) the endpoint case. A local multilevel diagonal preconditioner for the fractional Laplacian on locally refined meshes with optimal eigenvalue bounds is presented.

研究の動機と目的

• 全連続および不連続な分片多項式関数に対して、B3/22,∞およびB1/22,∞空間におけるスコット＝ジャン セット型作用素の端点安定性を確立すること。
• 最新頂点二等分によって生成されるメッシュの階層構造上、修正されたスコット＝ジャン セット作用素に基づく多層分解を構築すること。
• 適応的細分化メッシュ上での積分分数ラプラシアンに対する局所的多層対角プリコンディショナを設計し、最適固有値境界を達成すること。
• メッシュ細分化のレベルに依存しない一様有界な条件数を、プリコンディショニング系に保証すること。特に強い局所的細分化下でも成立するようにすること。

提案手法

• 補間理論およびK汎関数推定を用いて、端点ベソフノルムにおける準補間作用素の安定性を証明する。
• 特に二つのメッシュの共通の粗化メッシュ上でも一貫性を保つように、修正されたスコット＝ジャン セット作用素を構築する。
• 分数ソボレフノルムにおける新しい逆推定を用いて、形状が適切に保たれた適応的細分化メッシュ上での多層分解のノルム同値性を確立する。
• 重み付き逆推定およびスケーリング論法を用いて、強化されたコーシー＝シュワルツ不等式を導出し、非対角項を評価する。
• 加法的シュワーツフレームワークを用い、対角スケーリングを組み合わせ、多層分解を活用してプリコンディショニングされた剛性行列の極値固有値を評価する。
• 階層的パッチ上のノードサポートに制限した対角要素を用いて、局所的多層対角プリコンディショナを実装し、最適な条件数を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全連続分片多項式関数に対して、スコット＝ジャン セット作用素は端点ベソフ空間B3/22,∞で安定か？
• RQ2 スコット＝ジャン セット型作用素を用いて、適応的細分化メッシュ上にノルムが等価な多層分解を構築可能か？
• RQ3 局所的細分化メッシュ上での分数ラプラシアンに対して、局所的多層対角プリコンディショナが一様に有界な条件数を達成するか？
• RQ4 特に強い局所的細分化下において、プリコンディショニング系の固有値はメッシュ細分化に伴いどのように変化するか？
• RQ5 最細メッシュに依存せずにプリコンディショナを構築可能であり、最適な条件数を維持できるか？

主な発見

• スコット＝ジャン セット作用素は、H3/2からB3/22,∞、およびH1/2からB1/22,∞への有界作用素として作用し、ベソフノルムにおける端点安定性が確立された。
• 最新頂点二等分によって生成されるメッシュ上に、ノルムが等価な多層分解が構築可能であり、端点ケースまで有効である。
• 提案された局所的多層対角プリコンディショナは、プリコンディショニング系の条件数がメッシュサイズや細分化比に依存せず、一様に有界であることを保証した。
• s ∈ (0, 1) の場合、S1,10(T)における一次分片多項式離散化で最適固有値境界を達成し、s ∈ (0, 1/2) ではS0,0(T)においても同様の結果を得た。
• 数値実験により、プリコンディショニング系の条件数が対数的にしか増加しないことが確認された一方、非プリコンディショニング系ではO(N2s/dℓ)の速度で増加した。
• 数値結果により、このプリコンディショナは境界要素法で用いられるものと構造的に類似しており、効率的に実装可能であることが確認された。