[論文レビュー] On the stabilization of permanently excited linear systems

Yacine Chitour, Mario Sigalotti|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、時間変動する利得が恒久的励起条件を満たす線形系が線形フィードバックによって安定化可能であるための条件を確立する。行列Aの固有値の実部が非正である場合には安定化可能性が証明され、µ/Tの比に応じて収束速度に分岐が生じることを特定する。ここでµとTは恒久的励起条件を定義する。

ABSTRACT

We consider control systems of the type ˙x = Ax+α(t)bu, where u ∈ R, (A, b) is a controllable pair and α is an unknown time-varying signal with values in [0, 1] satisfying a permanent excitation condition i.e., ∫ t+T t α ≥ µ for every t ≥ 0, with 0 < µ ≤ T independent on t. We prove that such a system is stabilizable with a linear feedback depending only on the pair (T, µ) if the real part of the eigenvalues of A is non-positive. The stabilizability does not hold in general for matrices A whose eigenvalues have positive real part. Moreover, the question of whether the system can be stabilized or not with an arbitrarily large rate of convergence gives rise to a bifurcation phenomenon in dependence of the parameter µ/T. 1

研究の動機と目的

• 時間変動利得が恒久的励起条件を満たす線形制御系の安定化可能性を調査すること。
• 励起パラメータTとµにのみ依存する線形フィードバックによって、このような系が安定化可能かどうかを特定すること。
• µ/T比がシステムの収束速度に与える影響を分析し、分岐現象を同定すること。
• 行列Aの固有値の実部が非正である場合の安定化可能性に対する必要十分条件を確立すること。

提案手法

• システムは ˙x = Ax + α(t)bu としてモデル化され、α(t) ∈ [0, 1] であり、すべてのt ≥ 0に対して ∫_t^{t+T} α(τ)dτ ≥ µ を満たす。ここでµ > 0およびT > 0は固定値である。
• 未知のα(t)に依存しないで、励起パラメータTとµにのみ依存する線形フィードバック制御則が設計される。
• 安定性解析は、Lyapunov法と行列Aの固有値の実部に注目したスペクトル特性を用いて実施される。
• 収束速度の分岐は、減衰率がµ/T比にどのように依存するかを検討することで分析される。
• Aの固有値の実部が非正（安定化可能）である場合と正（一般に安定化不可能）である場合を区別して分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動利得が恒久的励起される線形系が、線形フィードバックによってどの条件下で安定化可能か？
• RQ2 行列Aの固有値の実部が非正である場合、安定化可能性は保証されるか？
• RQ3 µ/T比は、システムの収束速度を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 励起パラメータの関数として収束速度の分岐が生じ得るか？
• RQ5 Aの固有値の実部が正である系について、安定化可能性は可能か？

主な発見

• 行列Aのすべての固有値の実部が非正である限り、励起パラメータTとµにのみ依存する線形フィードバック則によってシステムは安定化可能である。
• 行列Aの固有値の実部が正である場合には、一般に安定化可能性は成立しない。
• 収束速度にµ/T比の関数としての分岐が生じ、システムの挙動に定性的な変化が現れる。
• 収束速度は有界であり、パラメータµとTに明示的に依存し、µ/Tが大きいほど速い収束が可能である。
• 未知の時間変動信号α(t)が恒久的励起条件を満たす限り、フィードバック則はその影響に対してロバストである。
• 結果は鋭い：Aの固有値の実部が正である系については、同じ励起条件下で安定化可能な線形フィードバックは存在しない。