[論文レビュー] On the stationary distribution of the block counting process for population models with mutation and selection

Fernando Cordero, Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、突然変異と選択を伴う集団モデルにおけるブロックカウンティング過程の定常分布を調査し、モランモデルおよびΛ＝ワイトフィーラー・モデルに焦点を当てる。整微分方程式を用いて定常分布の明示的解を導出し、キングマンおよびスターシャペッド共析過程に対して解き、特にボルタウーゼン＝シュニットマン共析過程において分布が幾何分布となる条件を同定する。

ABSTRACT

We consider two population models subject to the evolutionary forces of selection and mutation, the Moran model and the $\Lambda$-Wright-Fisher model. In such models the block counting process traces back the number of potential ancestors of a sample of the population at present. Under some conditions the block counting process is positive recurrent and its stationary distribution is described via a linear system of equations. In this work, we first characterise the measures $\Lambda$ leading to a geometric stationary distribution, the Bolthausen-Sznitman model being the most prominent example having this feature. Next, we solve the linear system of equations corresponding to the Moran model. For the $\Lambda$-Wright-Fisher model we show that the probability generating function associated to the stationary distribution of the block counting process satisfies an integro differential equation. We solve the latter for the Kingman model and the star-shaped model.

研究の動機と目的

• ブロックカウンティング過程の定常分布が幾何分布となるようなΛ測度のクラスを特定すること。
• モランモデルにおける定常分布を記述する線形方程式系を解くこと。
• Λ＝ワイトフィーラー・モデルにおける確率生成関数の整微分方程式を導出し、解くこと。
• キングマンおよびスターシャペッド共析過程モデルにおける定常分布を明示的に計算すること。
• 定常分布が幾何分布となる条件を同定すること；ボルタウーゼン＝シュニットマン共析過程を主な例として挙げる。

提案手法

• Λ＝ワイトフィーラー・モデルにおけるブロックカウンティング過程とタイプ頻度過程のモーメント双対性を用いる。
• シーグンブ・双対性を用いてブロックカウンティング過程と固定線プロセスを関連付ける。
• 定常分布の確率生成関数に対する整微分方程式を導出する。
• 特定のΛ測度（例：β(3,1)モデル）に対して、方程式を線形常微分方程式に変換して解く。
• 超幾何関数およびアペル関数などの特殊関数を用いて解を解析的に表現する。
• スティルチェス変換および積分恒等式を用いて境界条件と明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのΛ測度に対して、ブロックカウンティング過程の定常分布が幾何分布となるか？
• RQ2 突然変異と選択を伴うモランモデルにおける定常分布の明示的形は何か？
• RQ3 Λ＝ワイトフィーラー・モデルにおける定常分布の確率生成関数は、どのように特徴づけられるか？
• RQ4 キングマンおよびスターシャペッド共析過程の状況において、生成関数を記述する整微分方程式の解は何か？
• RQ5 β(3,1)モデルにおいて、定常分布を明示的に計算できるか？また、その形はどのようなものか？

主な発見

• 本稿では、ボルタウーゼン＝シュニットマン共析過程が、定常分布が幾何分布となる顕著な例であると特定した。
• モランモデルにおいて、定常分布を記述する線形方程式系が明示的に解かれた。
• Λ＝ワイトフィーラー・モデルにおける定常分布の確率生成関数は、整微分方程式を満たす。
• キングマン共析過程において、整微分方程式が明示的に解かれ、生成関数に対して閉形式の表現が得られた。
• β(3,1)モデルにおいて、境界条件 gΛ(0) = 0 および gΛ(1) = 1 を満たす常微分方程式を経由して定常分布が導出された。
• 解は超幾何関数およびアペル関数を含み、特定のΛ測度のもとでモデルの解析的扱いやすさが示された。