[論文レビュー] On the streaming complexity of fundamental geometric problems

Arijit Bishnu, Arijit Ghosh+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1パスストリーミングモデルにおける基本的な幾何問題について、タイトな空間計算量の下界を確立し、それに一致する近似アルゴリズムを提示する。Kleeの測度、凸体近似、不均衡問題を分析し、ランダム化ストリーミングアルゴリズムがε加法的近似に対してΩ(1/ε)の空間を必要とするのを証明する。最適な空間使用を達成するアルゴリズムを提示し、入力がソート済みである場合、色不均衡問題の正確なO(1)空間計算が可能であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we focus on lower bounds and algorithms for some basic geometric problems in the one-pass (insertion only) streaming model. The problems considered are grouped into three categories: (i) Klee's measure (ii) Convex body approximation, geometric query, and (iii) Discrepancy Klee's measure is the problem of finding the area of the union of hyperrectangles. Under convex body approximation, we consider the problems of convex hull, convex body approximation, linear programming in fixed dimensions. The results for convex body approximation implies a property testing type result to find if a query point lies inside a convex polyhedron. Under discrepancy, we consider both the geometric and combinatorial discrepancy. For all the problems considered, we present (randomized) lower bounds on space. Most of our lower bounds are in terms of approximating the solution with respect to an error parameter $ε$. We provide approximation algorithms that closely match the lower bound on space for most of the problems.

研究の動機と目的

• 1パスストリーミングモデルにおける基本的な幾何問題の強い空間計算量の下界を確立すること。
• Kleeの測度や凸体近似のような問題に対して、導出された下界と一致する最適な近似アルゴリズムを設計すること。
• 入力順序がストリーミング計算量に与える影響、特に不均衡問題に関して調査すること。
• ストリーミング計算量と性質テストの関係を調査し、特に凸包属性に関して考察すること。
• 入力が座標でソートされている場合、色不均衡の正確な計算が定数空間で達成可能であることを示すこと。

提案手法

• 幾何問題のϵ加法的空間下界を導出するために、ランダム化通信複雑度の技術を用いる。
• 下界を証明するために、インデックス問題や一様でない問題のような通信問題に幾何問題を還元する。
• サンプリングとスケッチ技術を用いて、下界と一致する空間計算量を達成する1パスストリーミングアルゴリズムを設計する。
• 対数的パス数を用いて、ϵ加法的アルゴリズムをϵ乗法的アルゴリズムに変換するマルチパス変換を適用する。
• ソート済みストリームの構造を活用し、赤と青の点数の累積差の追跡によって、色不均衡をO(1)空間で正確に計算する。
• 凸体のε近似を定義するためにハウスドルフ距離を用い、幾何的および線形計画問題と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元空間におけるKleeの測度のϵ加法的近似を1パスストリーミングアルゴリズムで計算するのに必要な最小空間量は何か？
• RQ2 固定次元における凸体近似と線形計画問題は、情報理論的下界と一致する空間計算量で解けるか？
• RQ3 入力順序は、幾何的不均衡問題のストリーミング計算量にどのように影響するか？
• RQ4 凸包属性のストリーミング計算量の性質テストは何か？また、凸体近似とどのように関係するか？
• RQ5 ストリームが座標でソートされている場合、色不均衡の正確な計算は定数空間で達成可能か？

主な発見

• 本稿は、ストリーミングモデルにおいて、Kleeの測度のϵ加法的近似を計算する任意の1パスランダム化アルゴリズムが、Ω(1/ε)の空間を必要とする、と証明している。
• 凸体近似および関連問題に関して、導出されたΩ(1/ε)下界と一致する空間計算量を達成するアルゴリズムを提示しており、タイトなバウンドを確立している。
• 一般のストリームでは色不均衡問題はΩ(n)の空間を要するが、入力が座標でソートされている場合にはO(1)空間で正確に解ける。
• O(log(1/O))パスを用いて、ϵ加法的1パスアルゴリズムをϵ乗法的アルゴリズムに変換するマルチパスアルゴリズムを構築した。ここでOは最適解値を表す。
• ソート済みストリームでは、色不均衡D_c(P)は、赤と青の点数の累積差の最大値と最小値を追跡するだけで、O(1)空間で正確に計算可能である。
• 本稿は、色不均衡の最適解がD_c(P) = max_p(R([0,p]) - B([0,p])) - min_q(R([0,q]) - B([0,q])) + 1で与えられることを確立し、定数空間での計算を可能にしている。