[論文レビュー] On the strict comparison theorem for $G$-expectations

Xinpeng Li|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$G$-期待値における厳密な比較定理を確立し、$X \leq Y$ が概ぜん確実に成り立ち、かつ正のチョケット容量を有する集合上で $X < Y$ が成り立つ場合、追加の正則性または対称性条件のもとで $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ が成り立つことを証明する。結果として、線形期待値における古典的な厳密比較を、可解性のない $G$-期待値へ拡張し、粘性解理論と容量に基づく解析を用いる。

ABSTRACT

This paper investigates the strict comparison theorem under the framework of $G$-expectation, i.e., let $X\leq Y$ q.s., if $X,Y$ satisfy some additional conditions, then $\E[X]

研究の動機と目的

• 線形期待値の古典的厳密比較性質を、$G$-期待値の非線形フレームワークへ拡張すること。
• $X \leq Y$ が概ぜん確実に成り立ち、かつ $P(X<Y)>0$ である場合に $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ を導くための十分条件を同定すること。
• $G$-正規分布、粘性解、チョケット容量が期待値における厳密不等号を保証するために果たす役割を同定すること。
• $G$-期待値における厳密比較が失敗する反例を提示し、$v(X<Y)>0$ だけでは不十分であることを示すこと。

提案手法

• $G$-熱方程式と粘性解理論を用いて、完全非線形PDEを介して $G$-期待値を特徴付ける。
• 最大原理とクリロフ＝サフォノフ推定を適用し、負の初期データを持つ解の下界を導出する。
• チョケット容量 $v(A) = \sup_{P \in \mathcal{P}} P(A)$ を用いて、概ぜん確実（q.s.）な性質および正の容量を有する集合を定義する。
• $G$-ブラウン運動の二次変動過程 $\langle B \rangle_t$ を用いた反例を構築し、追加条件がなければ厳密比較が成立しないことを示す。
• $X \in L^1_G(\Omega)$ に対して $\hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathcal{P}} E_P[X]$ という表現を用い、$G$-期待値と線形期待値の族の関係を確立する。
• 概ね連続性および確率変数の概ね連続なバージョンの存在を用いて、可測性および容量に基づく解析を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-期待値フレームワークにおいて、$X \leq Y$ が概ぜん確実に成り立ち、$v(X < Y) > 0$ であるとき、どのような条件下で $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ が成り立つか。
• RQ2 線形期待値を $G$-期待値に置き換えた場合、厳密比較性質は保存可能か。そのために必要な構造的仮定は何か。
• RQ3 一般に $v(X < Y) > 0$ が $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ を導かないのはなぜか。何らかの追加条件がこの問題を解消するか。
• RQ4 $G$-正規分布およびそれに関連するPDEの特徴付けが、期待値の比較にどのように影響するか。

主な発見

• $X \leq Y$ が概ぜん確実に成り立ち、かつ $\inf_{P \in \mathcal{P}} P(X < Y) > 0$ であれば、$\underline{\sigma} > 0$ の条件下で $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ が成り立つ。
• $X, Y \in \text{Lip}(\Omega)$ で、$X \leq Y$ が概ぜん確実に成り立ち、$\underline{\sigma} > 0$ であれば、$\inf_{P \in \mathcal{P}} P(X < Y) > 0$ ならば $\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ が成り立つ。
• $X$ が平均的確実性（すなわち $\hat{\mathbb{E}}[X] = -\hat{\mathbb{E}}[-X]$）を有し、$v(X < Y) > 0$ であれば、$\hat{\mathbb{E}}[X] < \hat{\mathbb{E}}[Y]$ が成り立つ。
• 反例により、$\langle B \rangle_t \leq \overline{\sigma}^2 t$ が概ぜん確実に成り立ち、$v(\langle B \rangle_ t < \overline{\sigma}^2 t) = 1$ であるが、$\hat{\mathbb{E}}[\langle B \rangle_t] = \hat{\mathbb{E}}[\overline{\sigma}^2 t]$ であるため、追加条件なしでは厳密比較が失敗することが示された。
• $\varphi(x_0) < 0$ を満たす有界かつリプシッツ連続な $\varphi$ に対して、$G$-熱方程式の解 $u(t,x)$ は $u(1,0) < 0$ を満たし、これにより $\hat{\mathbb{E}}[\varphi(B_1)] < 0$ が導かれる。