[論文レビュー] On the strong Markov property for stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion

Mingshang Hu, Xiaojun Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、普遍的連続性および一貫性の性質を用いて、任意時刻における条件付き$G$期待値を構築することで、$G$-ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式（SDE）の強いマルコフ性を確立する。主な結果は、停止時刻$\tau$以降の過程$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t\geq 0}$が依然として$G$-ブラウン運動であることであり、この性質は$G$-ブラウン運動のレベル集合がほとんど確実に孤立点を持たないことを証明するために用いられる。

ABSTRACT

In this paper we study the stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion ($G$-SDEs for short). We extend the notion of conditional $G$-expectation from deterministic time to the more general optional time situation. Then, via this conditional expectation, we develop the strong Markov property for $G$-SDEs. In particular, we obtain the strong Markov property for $G$-Brownian motion. Some applications including the reflection principle for $G$-Brownian motion are also provided.

研究の動機と目的

• 決定的時刻における条件付き$G$期待値を任意停止時刻へ拡張し、非線形期待値枠組みにおける強いマルコフ性の研究を可能にする。
• ボレル可測関数に対して、古典的条件付き期待値の主要な性質（線形性を除く）を保つ正則な条件付き$G$期待値$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$を構築する。
• ドミネート収束定理の非線形設定における失敗を補うために、コルモゴロフのタイトネス基準を用いて$G$-SDEの強いマルコフ性を確立する。
• $G$-ブラウン運動における反射原理が成り立つこと、および停止時刻以降の増分$B_{\tau+t} - B_\tau$が依然$G$-ブラウン運動であることの証明。
• 強いマルコフ性を応用して、レベル集合$\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$がほとんど確実に孤立点を持たないことを示す。

提案手法

• 普遍的連続性推定（補題3.3）および新しい一貫性性質（命題3.9）を用いて、決定的時刻における条件付き$G$期待値$\hat{\mathbb{E}}_t[\cdot]$を任意停止時刻$\tau$へ拡張する。
• $\mathcal{F}_{\tau+}$に関して可測であり、正則性を満たす、広範なボレル関数クラスに対して$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$を構築する。
• 標準的な離散化法を適応し、$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$の性質を活用して$G$-SDEの強いマルコフ性を証明する。
• 非線形期待値設定におけるドミネート収束定理の失敗を回避するため、コルモゴロフのタイトネス基準を用いる。
• 強いマルコフ性を用いて、$G$-ブラウン運動の経路的性質、特にゼロ付近での符号の変化および無限大の振動を分析する。
• 反射原理および経路的解析を用いて、レベル集合$\mathcal{L}_\omega(a)$が無限大であり、孤立点を持たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-期待値枠組みにおいて、決定的時刻から任意停止時刻への条件付き$G$期待値を意味的に拡張することは可能か？
• RQ2 $G$-SDEの強いマルコフ性は成り立つか、すなわち任意の停止時刻$\tau$に対して$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$が成立するか？
• RQ3 任意停止時刻$\tau$以降の過程$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$は$G$-ブラウン運動であるか？
• RQ4 $G$-ブラウン運動のレベル集合$\mathcal{L}_\omega(a) = \{t \geq 0 : B_t(\omega) = a\}$はほとんど確実に孤立点を持つか？
• RQ5 強いマルコフ性を用いて、ゼロ付近での無限回の符号変化といった$G$-ブラウン運動の経路的正則性特性を証明できるか？

主な発見

• ボレル関数の広範なクラスに対して、$\mathcal{F}_{\tau+}$に関して可測であり、古典的条件付き期待値の主要な性質（線形性を除く）を保つ条件付き$G$期待値$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\cdot]$が構築された。
• $G$-SDEの強いマルコフ性が成立する：任意の停止時刻$\tau$に対して$\hat{\mathbb{E}}_{\tau+}[\varphi(X_{\tau+t_1}^x, \dots, X_{\tau+t_m}^x)] = \hat{\mathbb{E}}[\varphi(X_{t_1}^y, \dots, X_{t_m}^y)]_{y=X_\tau^x}$が成り立つ。
• 任意の停止時刻$\tau$に対して、増分$(B_{\tau+t} - B_\tau)_{t \geq 0}$は$G$-ブラウン運動であることが示され、$G$-枠組みにおける反射原理が確認された。
• $G$-ブラウン運動のレベル集合$\mathcal{L}_\omega(a)$は、強いマルコフ性および符号変化の経路的解析により、ほとんど確実に孤立点を持たない。
• 過程$B$は、任意の区間$[0, \varepsilon]$においてほとんど確実に無限回符号を変えるため、$\tau_1 = \inf\{t > 0 : B_t > 0\} = 0$ q.s. が成り立ち、同様に負の部分に対しても成り立つ。
• $\mathcal{L}_\omega(a)$はほとんど確実に無限大であり、零測度である。孤立点を持つ経路の集合は、容量がゼロの集合である。