[論文レビュー] On the structure of asymptotic l_p spaces

Edward Odell, Th. Schlumprecht+1 more|ArXiv.org|Mar 2, 2006

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の分離可能で弱収縮性のあるバナッハ空間が、$1 \leq p \leq \infty$ に対して $\ell_p$ に漸近する場合、その空間が漸近的 $\ell_p$ 有限次元分解（FDD）を持つ弱収縮性空間に同相的に埋め込まれることを確立している。主な貢献は、漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-木推定を満たす弱収縮性空間を、埋め込みおよび商空間の性質を用いて特徴づける一般理論の構築であり、特に単調基底を備えた漸近的上界および下界推定の新しい枠組みを用いている。

ABSTRACT

We prove that if X is a separable, reflexive space which is asymptotic l_p, then X embeds into a reflexive space Z having an asymptotic l_p finite-dimensional decomposition. This result leads to an intrinsic characterization of subspaces of spaces with an asymptotic l_p FDD. More general results of this type are also obtained.

研究の動機と目的

• 分離可能で弱収縮性のバナッハ空間 $X$ が、漸近的 $\ell_p$ FDD を持つ弱収縮性空間に埋め込まれる条件を、$\ell_p$ に漸近する性質に基づいて特徴づけること。
• この特徴づけを、$1 \leq q \leq p \leq \infty$ に対して漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-推定を満たす空間へと拡張すること、特に $p=\infty$（$c_0$-様な振る舞い）の場合を含むこと。
• 特に凸化されたツァイレルソン空間を含む、単調基底を備えた一般枠組みを用いて、漸近的 $U$-上界および $V$-下界推定を構築すること。
• このような空間が埋め込みだけでなく、漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-推定を満たす弱収縮性空間の商空間としても得られることを示し、埋め込みと商構造の双対性を確立すること。

提案手法

• 有限次元空間 $E_i$ の列と、 unconditional 基を備えたバナッハ空間 $V$（特に凸化されたツァイレルソン空間）から構成される、$\ell_p$-和の一般化である空間 $Z_V(E)$ を導入する。
• 単調基を備え、対称部分列性質（SSP）および弱ノンゼロ部分列性質（WNS）を満たすバナッハ空間 $U$ および $V$ を用いた、漸近的 $U$-上界および $V$-下界木推定の理論を構築する。
• 双対空間 $U^{(*)}$ および $V^{(*)}$ を用いた双対性の議論により、空間 $X$ の漸近的構造とその双対空間 $X^*$ の構造との関係を関係づけ、対称的な特徴づけを可能にする。
• $\gamma$-木推定（$T(V,\gamma)$）の概念を用いてブロック列の漸近的挙動を制御し、安定性結果を適用して、1-無条件基底を備えた弱収縮性で単調な空間に還元する。
• 埋め込み定理（定理 3.1、系 3.2、定理 3.4）を用いて、漸近的木推定の存在と、$Z_V(E)$ および $Y_V(F)$ 空間への埋め込みおよび商写像との関係を結ぶ。
• FDD射影定数が 1 となるように再ノルム化を行うことで、$w^*$-稠密で 1-ノルムを備えた双対空間と、双対性 $Z^{(*)(*)}=Z$ を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能で弱収縮性のバナッハ空間 $X$ が、漸近的 $\ell_p$ FDD を持つ弱収縮性空間に埋め込まれる条件は何か？
• RQ2 $X$ が漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-木推定を満たすために必要な内在的条件は何か？（$1 \leq q \leq p \leq \infty$）
• RQ3 このような空間は、埋め込みだけでなく、漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-推定を満たす空間における商構造によっても特徴づけられるか？
• RQ4 $X$ が漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-木推定を満たすとき、$X$ と $X^*$ の漸近的性質はどのように関係するか？
• RQ5 凸化されたツァイレルソン空間は、漸近的推定のモデル空間を構築するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の分離可能で弱収縮性のバナッハ空間が、$1 \leq p \leq \infty$ に対して $\ell_p$ に漸近する場合、その空間は漸近的 $\ell_p$ FDD を持つ弱収縮性空間 $Z$ に同相的に埋め込まれる。
• 弱収縮性空間 $X$ が漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-木推定を満たすための必要十分条件は、$X$ が漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-推定を満たす FDD を持つ弱収縮性空間 $Z$ に埋め込まれることである。
• 同じ空間 $X$ は、漸近的 $(\ell_p, \ell_q)$-推定を満たす弱収縮性空間の商空間としても得られ、埋め込みと商構造の双対性が確立される。
• この特徴づけは、$p=\infty$（すなわち $c_0$-様な振る舞い）または $q=1$ の場合にも成り立ち、$1 \leq q \leq p \leq \infty$ の全範囲に拡張可能である。
• 証明は、$T_{p,\gamma}$-空間とその双対空間の構成に依拠しており、適切な双対性のもとで、$T_{p,\gamma}^*$ の正規化ブロック列が $T_{q,\gamma}^*$ の正規化ブロック列を 1-支配する。
• この結果により、[OS1] の問題 5.4 が解決され、漸近的 $\ell_p$ 空間が漸近的 $\ell_p$ FDD を持つ弱収縮性空間に埋め込まれ、かつそのような空間の商空間としても得られることを示した。