[論文レビュー] On the structure of classical realizability models of ZF

Jean-Louis Krivine|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ZFの任意の古典的実現可能性モデルが、元のモデルと同一の順序数を持つ推移的部分モデルを含むことを確立している。この部分モデルは、基礎的モデルの初等拡張である。主な結果は、実現可能性モデルの特徴的ブール代数上の超フィルターを介して得られ、その結果、実現可能性モデルにおける構成可能宇宙が、基礎的モデルにおける構成可能宇宙の初等部分モデルであることが導かれる。

ABSTRACT

The technique of "classical realizability" is an extension of the method of "forcing"; it permits to extend the Curry-Howard correspondence between proofs and programs, to Zermelo-Fraenkel set theory and to build new models of ZF, called "realizability models". The structure of these models is, in general, much more complicated than that of the particular case of "forcing models". We show here that the class of constructible sets of any realizability model is an elementary extension of the constructibles of the ground model (a trivial fact in the case of forcing, since these classes are identical). It follows that Shoenfield absoluteness theorem applies to realizability models.

研究の動機と目的

• ZFの古典的実現可能性モデルの構造的性質、特にその内部部分モデルを調査すること。
• このようなモデルが、元のモデルの順序数と初等的性質を保存する推移的部分モデルを含むかどうかを特定すること。
• 実現可能性モデルにおける構成可能宇宙と基礎的モデルにおける構成可能宇宙との関係を分析すること。
• collapsing を可能にする、実現可能性モデル内にwell-founded関係の存在を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、項、スタック、プロセス、証明に類似した項を備えた実現可能性代数に基づく古典的実現可能性の枠組みを用いる。
• 実現可能性モデルに関連する特徴的ブール代数 $\gimel 2$ を定義し、それを用いて定義可能な関係を分析する超フィルターを構成する。
• 実現可能性モデル上での真偽述語 $\cal D$ を用いて、'実現された'属する関係を捉える well-founded 関係 $\in_{\cal D}$ を定義する。
• 関数 $\Phi$ を、ランク関数に類似した形で構成し、well-founded 関係 $\in_{\cal D}$ をモデル $\mathcal{N}_\in$ 内の推移的クラスへ写像する。
• モデル $\mathcal{N}_\in$ が ZF を満たし、$\Phi$ を通じて得られる推移的クラスが基礎的モデル $\mathcal{M}$ の初等拡張であることが証明される。
• 各 ZF公理を実現する証明に類似した項の存在に依存し、モデルの保存性と正しさが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFの任意の古典的実現可能性モデルは、元のモデルと同一の順序数を持つ推移的部分モデルを含むか？
• RQ2 collapsing を通じて得られる推移的部分モデルは、基礎的モデルの初等拡張か？
• RQ3 実現可能性モデルにおける構成可能宇宙 $L^\mathcal{N}$ と基礎的モデルにおける構成可能宇宙 $L^\mathcal{M}$ の関係は何か？
• RQ4 特徴的ブール代数と超フィルターを用いて、実現可能性モデルにおける属する関係のwell-founded性を確立できるか？
• RQ5 超フィルター $\gimel 2$ が、推移的かつ初等的部分モデルの存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ZFの任意の実現可能性モデル $\mathcal{N}$ は、$\mathcal{N}$ と同一の順序数を持つ推移的部分モデルを含む。
• この推移的部分モデルは、基礎的モデル $\mathcal{M}$ の初等拡張である。つまり、$\mathcal{M}$ で真であるすべての一階論理文は、部分モデルでも真のまま保たれる。
• well-founded 関係 $\in_{\cal D}$ のwell-founded性は、特徴的ブール代数 $\gimel 2$ 上の適切な超フィルターの存在によって確立される。
• collapsing 関数 $\Phi$ は、well-founded 関係 $\in_{\cal D}$ を $\mathcal{N}_\in$ 内の推移的クラスへ写像し、属する構造を保存する。
• 基礎的モデルの構成可能宇宙 $L^\mathcal{M}$ は、実現可能性モデル内での構成可能宇宙 $L^\mathcal{N}$ の初等的部分モデルである。
• モデル $\mathcal{N}_\in$ は ZF を満たし、$\mathcal{N}$ 内の論理式の真偽値は $\Pi$ の部分集合であり、実現可能性は証明に類似した項によって定義される。