[論文レビュー] On the structure of co-Kähler manifolds

Giovanni Bazzoni, John Oprea|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、任意のコンパクトなコケーラー多様体が、S¹作用を尊重する-equivariant微分同相写像を介して、ケーラー多様体と円周の積に微分同相な有限巡回被覆を持つことを確立している。主な結果として、有限被覆の上では、すべてのコンパクトなコケーラー多様体がケーラー多様体とS¹のグローバルな積に一致することを示しており、リーのマッピングトーラス特徴付けと位相的方法を用いて、接触幾何と複素幾何における構造的問題を解決している。

ABSTRACT

By the work of Li, a compact co-Kähler manifold $M$ is a mapping torus $K_φ$, where $K$ is a Kähler manifold and $φ$ is a Hermitian isometry. We show here that there is always a finite cyclic cover $\bar M$ of the form $\bar M \cong K imes S^1$, where $\cong$ is equivariant diffeomorphism with respect to an action of $S^1$ on $M$ and the action of $S^1$ on $K imes S^1$ by translation on the second factor. Furthermore, the covering transformations act diagonally on $S^1$, $K$ and are translations on the $S^1$ factor. In this way, we see that, up to a finite cover, all compact co-Kähler manifolds arise as the product of a Kähler manifold and a circle.

研究の動機と目的

• 既知のマッピングトーラス形式を越えて、コンパクトなコケーラー多様体のグローバルな位相的構造を特定すること。
• このような多様体が、ケーラー多様体と円周の積に有限被覆されるかどうかを解明すること。
• 有限被覆と群作用を通じて、コケーラー幾何とケーラー幾何を結ぶ構造定理を確立すること。
• 基本群とコhomologyの障害を用いて、すべてのコケーラー多様体がグローバルな積に同相でないことを示すこと。

提案手法

• リーの結果（コンパクトなコケーラー多様体は、ケーラー多様体上のヘルミート等長写像のマッピングトーラスである）を活用すること。
• リーブベクトル場ξがキリングかつ平行であり、ηが調和的であることから、多様体上にS¹作用を構成すること。
• 軌道写像がホモロジーに単射である円作用の理論を応用し、有限巡回被覆を構成すること。
• 被覆変換がK×S¹上で対角的に作用し、S¹因子を平行移動として保存することを示すこと。
• クンネットの定理とホモロジー計算を用いて、特定のコケーラー多様体（例：T²ₙ_B）がグローバルな積に同相でないことを示すこと。
• 基本群を半直積として解析し、積構造への障害の非自明性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクトなコケーラー多様体は、ケーラー多様体と円周の積に有限被覆されるか？
• RQ2 平行かつキリングであるリーブベクトル場の存在は、有限被覆上でグローバルなS¹作用と積構造をもたらすか？
• RQ3 有限被覆がそのような積に同相であるにもかかわらず、コンパクトなコケーラー多様体のうち、2n次元多様体とS¹の積に同相でないものは存在するか？
• RQ4 コケーラー多様体のコhomologyと基本群は、それがグローバルな積でないことをどのように妨げるか？
• RQ5 被覆変換の性質は、有限被覆上のS¹作用とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意のコンパクトなコケーラー多様体Mは、M̄がK×S¹に-equivariant微分同相となる有限巡回被覆M̄を持つ。ここでKはケーラー多様体であり、S¹作用は円周因子上の平行移動として作用する。
• 被覆変換はK、S¹の両方上で対角的に作用し、S¹因子を平行移動として保存するため、被覆が積多様体であることが保証される。
• CDM例であるT²_A（双曲的自己同型のマッピングトーラス）は、1次ホモロジーがℤであり、基本群が積群でないため、K×S¹に同相でない。
• 2次元トーラスの積上の位数6の複素構造自己同型のマッピングトーラスとして構成された多様体T²ₙ_Bは、T²ₙ×S¹に有限被覆されるが、任意のK×S¹に同相でない。
• T²ₙ_Bの1次ベッチ数b₁(T²ₙ_B) = 1であり、H₁(T²ₙ_B; ℤ) ≅ ℤである。これは、任意の仮想的なKが自明なH₁を持つべきであるが、これは可解基本群構造と矛盾する。
• T²ₙ_Bの基本群は、φ(1) = B（位数6）であるΛⁿ ⋊φ ℤの半直積であり、その交換子群はΛⁿである。これは、可解ではあるが積群ではないことを示している。