[論文レビュー] On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Mar 12, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、基底多様体上の擬ユークリッドベクトル bundle 上の度数 2 の階級付きシンプレクティック(super)多様体とコウランツ代数的束の間に、標準的な対応関係を確立する。このような(super)多様体上の関数の階級付きポアソン代数を構成することで、BRST荷重がコウランツ代数的束構造とちょうど一致することを示し、古典的BRST複体を一般化し、高次de Rham複体の正則性を証明する。主たる貢献は、階級付きシンプレクティック(super)幾何学によるコウランツ代数的束の幾何的実現であり、これにより、Ševera類による完全なコウランツ代数的束の変形理論的分類が得られる。

ABSTRACT

This paper is devoted to a study of geometric structures expressible in terms of graded symplectic supermanifolds. We extend the classical BRST formalism to arbitrary pseudo-Euclidean vector bundles (E o M_{0}) by canonically associating to such a bundle a graded symplectic supermanifold ((M,Ω)), with ( extrm{deg}(Ω)=2). Conversely, every such manifold arises in this way. We describe the algebra of functions on (M) in terms of (E) and show that ``BRST charges'' on (M) correspond to Courant algebroid structures on (E), thereby constructing the standard complex for the latter as a generalization of the classical BRST complex. As an application of these ideas, we prove the acyclicity of ``higher de Rham complexes'', a generalization of a classic result of Fröhlicher-Nijenhuis, and derive several easy but useful corollaries.

研究の動機と目的

• 多様体上の任意の擬ユークリッドベクトルバンドルへ、リー代数を超えた古典的BRST形式主義を一般化すること。
• 度数 2 の階級付きシンプレクティック(super)多様体と、そのようなバンドル上のコウランツ代数的束構造との間に、標準的な対応関係を確立すること。
• これらの(super)多様体上のBRST荷重が、まさにコウランツ代数的束構造に対応することを示し、コウランツ代数的束の標準複体を、BRST複体の一般化として構成すること。
• 高次de Rham複体の正則性を証明し、Fröhlicher-Nijenhuisの古典的結果を拡張すること。
• Ševera類を用いた完全なコウランツ代数的束の変形理論的分類を提供し、変形理論からの結果を回復・拡張すること。

提案手法

• 基底多様体 $M_0$ 上の擬ユークリッドベクトルバンドル $E \to M_0$ から、$M = E[1] \times T^*[2]M_0$ という階級付きシンプレクティック(super)多様体を構成し、$\Omega$ を度数 2 のシンプレクティック形式とする。
• 多様体 $M$ 上の関数代数を、度数 $-2$ のポアソン括弧を持つ階級付きポアソン代数として定義し、$\Gamma(\wedge^\bullet E^*)$ に同型であることを示す。
• BRST荷重を、度数 1 の奇数ハミルトニアンとして特定し、そのシューラウテン＝ニエンハイウス括弧 $\{\Theta, \Theta\} = 0$ の消滅がコウランツ代数的束の公理に一致することを示す。
• 導来括弧構成を用いて、ハミルトニアン $\Theta$ からコウランツ括弧を回復し、リー代数の場合を一般化する。
• NQ多様体形式を適用し、多様体 $M$ に関連する全複体 $({\mathcal{A}}^{\cdot}, D)$ がコウランツ代数的束の標準複体に一致することを示す。
• 変形理論を適用し、$\phi$ が $d\phi = 0$ を満たす 3-形式である場合、標準コウランツ代数的束 $E_0$ の非自明な変形が、Ševera類によって分類されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BRST形式主義をリー代数を超えて、任意の擬ユークリッドベクトルバンドルへどのように一般化できるか？
• RQ2 度数 2 の階級付きシンプレクティック(super)多様体とコウランツ代数的束構造との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 階級付きシンプレクティック(super)多様体上の関数のポアソン代数から、コウランツ代数的束の標準複体はどのように導かれるか？
• RQ4 コウランツ代数的束の標準複体のコホモロジーの幾何的意味は何か？
• RQ5 標準コウランツ代数的束の変形はどのように分類され、Ševera類はこの分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• コウランツ代数的束の標準複体は、基底多様体 $M_0$ のde Rham複体に同型であり、コホモロジーは $H^\bullet(M_0, \mathbb{R})$ に同型である。
• 標準コウランツ代数的束 $E_0 = TM_0 \oplus T^*M_0$ の標準複体のコホモロジーは、閉じた 1-形式と完全な 2-形式の作用により、$M_0$ のde Rhamコホモロジーに同型であることが示された。
• 標準コウランツ代数的束 $E_0$ の変形は、$M_0$ 上の閉じた 3-形式 $\phi$ によって分類され、$\phi'$ と $\phi$ が $\phi' - \phi = d\beta$ を満たす場合、それらは同型な代数的束を与える。
• コウランツ代数的束のŠevera類は、曲率 3-形式 $\phi$ のコホモロジー類であり、完全なコウランツ代数的束を同型類の意味で分類する。
• BRST荷重 $\Theta_\phi = \Theta_0 - \phi$ は、$d\phi = 0$ であるときにかつそのときに限り $\{\Theta_\phi, \Theta_\phi\} = 0$ を満たし、変形の整合性が確認された。
• バイインヴァリエント計量を持つリー群 $G$ 上の完全なコウランツ代数的束は、カルタンの 3-形式から生じ、そのŠevera類は $G$ の標準類に一致する。