[論文レビュー] On the structure of isometries between noncommutative Lp spaces

David K. Sherman|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、領域となるvon Neumann代数が近似的に半単純的（AS）である場合、非可換 $L^p$ 空間間の等長写像（$1 \leq p < \infty$, $p \neq 2$）が、標準的（'typical'）な形—つまり、ジョルダン $^*$-単射、部分等長写像、正の射影によって定義される形—をとることを確立している。主な貢献は、この条件下での等長写像の完全なパラメータ化であり、半単純的代数に対するYeadonの定理の範囲を超えて、独立した結果を示している。

ABSTRACT

We prove some structure results for isometries between noncommutative Lp spaces associated to von Neumann algebras. We find that an isometry T: Lp(M_1) to Lp(M_2) (1 le p &lt; infty, p not 2) can be canonically expressed in a certain simple form whenever M_1 has variants of Watanabe's extension property. Conversely, this form always defines an isometry provided that M_1 is "approximately semifinite" (defined below). Although neither of these properties is fully understood, we show that they are enjoyed by all semifinite algebras and hyperfinite algebras (with no summand of type I_2), plus others. Thus the classification is stronger than Yeadon's theorem for semifinite algebras (and its recent improvement in [JRS]), and the proof uses independent techniques. Related to this, we examine the modular theory for positive projections from a von Neumann algebra onto a Jordan image of another von Neumann algebra, and use such projections to construct new Lp isometries by interpolation. Some complementary results and questions are also presented.

研究の動機と目的

• Yeadonの定理の範囲を超えて、非可換 $L^p$ 空間間の $L^p$ 等長写像を分類すること。
• すべての $L^p$ 等長写像が「標準的」であるかどうか、すなわちジョルダン $^*$-単射、部分等長写像、正の射影を用いて表現可能かどうかを調査すること。
• 標準的形が常に等長写像を定める条件を特定すること、特に拡張性（EP）と近似的に半単純的（AS）の役割に注目すること。
• モジュラー理論、正の射影、および補間技法の間の相互作用を調査し、新しい $L^p$ 等長写像を構成すること。

提案手法

• BunceとWrightの定理を用いて、すべての $L^1$ 等長写像が標準的であることを証明し、基礎的段階を確立する。
• Watanabeの元々の拡張性の変種として、$L^p$ 等長写像を $L^1$ から持ち上げるために必要な $p$-拡張性（EP$_p$）を導入する。
• 近似的に半単純的（AS）なvon Neumann代数を、半単純的部分代数のネットによって近似可能な代数として定義する。
• $(J, P, w)$ というデータ（$J$：ジョルダン $^*$-単射、$P$：正の射影、$w$：部分等長写像）から補間を用いて $L^p$ 等長写像を構成する。
• 射影 $P$ が $J(\mathcal{M}_1)^{\prime\prime}$ への条件付き期待値を通じて因数分解できるならば、写像 $\varphi^{1/p} \mapsto (\varphi \circ J^{-1} \circ P)^{1/p}$ が線形に $L^p$ 等長写像に拡張されることを証明する。
• 強作用素位相の収束とスペクトル近似技術を用いて、構成された写像の連続性および正規性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 $L^p$ 空間間のすべての $L^p$ 等長写像は、ジョルダン $^*$-単射、部分等長写像、正の射影を含む標準的形をとるか？
• RQ2 EP$_p$（Watanabeの性質の変種）が、$L^p$ 等長写像が標準的であることを保証するか、特に EP$_1$ と組み合わせた場合にどうか？
• RQ3 領域代数が近似的に半単純的（AS）であれば、標準的形が常に等長写像を定めるか、特に $\mathcal{M}_1$ に型 $\mathrm{I}_2$ の和成分がない場合にどうか？
• RQ4 正の射影 $P: \mathcal{M}_2 \to J(\mathcal{M}_1)$ が $J(\mathcal{M}_1)^{\prime\prime}$ への条件付き期待値を通じて因数分解できる条件は何か？ これにより補間を用いて $L^p$ 等長写像を定義できる。
• RQ5 補間によって得られる $L^p$ 等長写像が基準状態に依存するかどうかを除去可能か？ その条件は何か？

主な発見

• BunceとWrightの定理により、非可換 $L^p$ 空間間のすべての $L^1$ 等長写像は標準的であることが示された。
• 領域von Neumann代数 $\mathcal{M}_1$ が EP$_p$ と EP$_1$ の両方を満たす場合、$L^p$ 等長写像は標準的である。正の等長写像の場合は EP$_1$ のみで十分である。
• 近似的に半単純的（AS）で型 $\mathrm{I}_2$ の和成分をもたないすべてのvon Neumann代数は、すべての $p \in [1, \infty)$ に対して EP$_p$ を満たす。これはYeadonの結果を一般化する。
• AS代数のクラスには、すべての半単純的代数、型 $\mathrm{I}_2$ を除く超有限代数、および可分な予対偶を持つ型 $\mathrm{III}_0$ の因子が含まれる。
• 射影 $P$ が $J(\mathcal{M}_1)^{\prime\prime}$ への条件付き期待値を通じて因数分解できるならば、写像 $\varphi^{1/p} \mapsto (\varphi \circ J^{-1} \circ P)^{1/p}$ は線形に well-defined な $L^p$ 等長写像に拡張される。
• $\mathcal{M}_1$ がASであれば、補間によって得られる等長写像が基準状態に依存しなくなり、$J$、$P$、$w$ からの $L^p$ 等長写像の標準的構成が保証される。