[論文レビュー] On the structure of nearly pseudo-Kähler manifolds

Lars Schäfer|ArXiv.org|Dec 17, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、10次元のほぼ擬ケーラー多様体の分類を、ケーラー因子を分離する一般条件を導入し、負曲率のクaternion的およびパラクaternion的ケーラー多様体へのツイスター空間構成を拡張することで確立する。厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体がエインシュタイン的であることを証明し、ホロノミー的条件によるツイスター的ほぼ擬ケーラー構造の特徴付けを示し、10次元における完全な分類に至る。

ABSTRACT

Firstly we give a condition to split off the K"ahler factor from a nearly pseudo-K"ahler manifold and apply this to get a structure result in dimension 8. Secondly we extend the construction of nearly K"ahler manifolds from twistor spaces to negatively curved quaternionic K"ahler manifolds and para-quaternionic K"ahler manifolds. The class of nearly pseudo-K"ahler manifolds obtained from this construction is characterized by a holonomic condition. The combination of these results enables us to give a classification result in (real) dimension 10. Moreover, we show that a strict nearly pseudo-K"ahler six-manifold is Einstein.

研究の動機と目的

• ほぼ擬ケーラー多様体からケーラー因子を分離する一般的手法の開発。
• ツイスター空間を用いたほぼケーラー構造の構成を、負曲率のクaternion的およびパラクaternion的ケーラー多様体へ拡張すること。
• 標準接続におけるホロノミー的条件を用いて、得られたほぼ擬ケーラー多様体を特徴付けること。
• 実次元10における「よい」かつ分解可能なほぼ擬ケーラー多様体の分類。
• 厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体が必ずエインシュタイン的であることの証明。

提案手法

• 3次微分形式の線形代数を用いて、ほぼ擬ケーラー多様体からケーラー因子を分離する一般条件を導入する。
• この分離条件を適用して、8次元におけるほぼ擬ケーラー多様体を分類し、リーマン的場合の別証明を提供する。
• 負スカラー曲率のクaternion的ケーラー多様体およびパラクaternion的ケーラー多様体へのツイスター空間構成を拡張し、それらがほぼ擬ケーラー構造を有することを示す。
• 擬リーマン的準同型を用いて、ほぼ擬ケーラー多様体とそれらの下位の（パラ）クaternion的ケーラー多様体を関連付ける。
• ツイスター空間上の標準的ほぼケーラー構造から生じることを示すことにより、ツイスター的タイプのほぼ擬ケーラー多様体を特徴付ける。
• 複素構造および計量を保存する微分写像を通じて、ほぼ擬ケーラー多様体とツイスター空間との間の等長同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ほぼ擬ケーラー多様体からケーラー因子を分離できるか？
• RQ2 ほぼケーラー多様体のツイスター空間構成を、負曲率のクaternion的およびパラクaternion的ケーラー多様体へ一般化できるか？
• RQ3 このようなツイスター構成から得られるほぼ擬ケーラー多様体を特徴付けるホロノミー的条件は何か？
• RQ4 「よい」かつ分解可能なほぼ擬ケーラー多様体が10次元でどのように分類できるか？
• RQ5 厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体は、必ずエインシュタイン的か？

主な発見

• 10次元における「よい」かつ分解可能なほぼ擬ケーラー多様体の万有被覆は、いずれかの次元の擬ケーラー多様体と厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体の直積、またはその8次元（パラ）クaternion的ケーラー多様体のツイスター空間とその標準的ほぼ擬ケーラー構造の直積である。
• 厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体がエインシュタイン的であることが証明された。
• 8次元において、単連結な厳密なほぼ擬ケーラー多様体は、リーマン的曲面と厳密なほぼ擬ケーラー6次元多様体の直積であることが示された。
• 負曲率のクaternion的およびパラクaternion的ケーラー多様体上のツイスター空間から得られるほぼ擬ケーラー多様体のクラスは、標準接続におけるホロノミー的条件によって特徴付けられる。
• このようなツイスター空間上のほぼ擬ケーラー構造が、複素構造および計量を保存する微分写像を通じて、ツイスター空間上の標準的ほぼケーラー構造と等長かつ正則同型であることが示された。
• 逆ツイスター構成に依存しない、10次元におけるほぼ擬ケーラー多様体の分類に対する新しい証明が得られた。